2026中考数学《重难点解读+专项训练》专题09 二次函数与胡不归综合应用（学生版+名师详解版）

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“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；
前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。
【方法技巧】
胡不归问题
识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）
方法：
1、将所求线段和改为的形式（）
2、作，使
3、过点B作交AC于点P
4、的最小值转化为垂线段的长
注意：当k＞1时，
【典例分析】
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．
所有
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 ．
【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
专题09 二次函数与胡不归综合应用（知识解读）
【专题说明】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；
前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。
【方法技巧】
胡不归问题
识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）
方法：
1、将所求线段和改为的形式（）
2、作，使
3、过点B作交AC于点P
4、的最小值转化为垂线段的长
注意：当k＞1时，
【典例分析】
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
【解答】解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标（，﹣）．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为．
故答案为．
【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），
令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，
∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴A（﹣m，0），B（2，0），
∴AB＝2+m，
令x＝0，则y＝﹣2m，
∴C（0，﹣2m），
∵△ABC的面积为8，
∴×（2+m）×（2m）＝8，
解得m＝2或m＝﹣4（舍）；
（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，
∵的横坐标为t，
∴T（t，t2﹣4），
过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，
∵∠DCT＝90°，
∴∠DCE+∠TCF＝90°，
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠TCF＝∠CDE，
∴△CED∽△TFC，
∴＝＝，
∵∠ATC＝60°，
∴＝，
∵C（0，﹣4），
∴CF＝t，TF＝t2，
∴DE＝t，CE＝t2，
∴D（﹣t2，t﹣4），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，
∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，
∴（t﹣1）2＝；
（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，
∵A、B关于y轴对称，
∴AP＝BP，
∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ABG＝∠ACO，
∵AO＝2，CO＝4，
∴AC＝2，
∴sin∠ACO＝，
∴＝，
∴CP＝GP，
∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，
∵cs∠ACO＝＝＝，
∴BG＝，
∴CP+AP的最小值为8，
∵tan∠ACO＝＝＝，
∴OP＝1，
∴P（0，﹣1）．
【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．
所有
【解答】解：在第二象限内作∠OCD＝30°，CD与y轴交于点D，过点Q作QP⊥CD于点P，连接AP，则∠ODC＝60°，
令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴OD＝OC•tan30°＝，
∴AD＝+1，
∵∠OCD＝30°，
∴PQ＝，
∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，
当A、Q、P三点依次在同一直线上，且AP⊥CD时，
AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，
此时AP＝AD•sin60°＝，
∴AQ+CQ的最小值为．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 ．
【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，
∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，
∴QE＝PQ，
∵BQ＝B'Q，
∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时PQ+QB取最小值，
∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，
∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，
∵P的坐标为（0，6），
∴PO＝6，
∴OD2+（6）2＝（2OD）2，
∴OD＝6，
∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OB＝4，
∴OB'＝4，
∴B'D＝10，
∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，
∴∠EB'D＝30°，
∴DE＝B'D＝5，
∴B'E＝＝＝5，
∴PQ+QB取最小值为5，
故答案为：5．
【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c
得到，，解得．
故答案为1，﹣3．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，PH＝PC．
∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，
∴DH′＝BD＝2，
∴DP+PC的最小值为•2＝4．