初中数学湘教版（2024）九年级上册正切精品综合训练题

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册正切精品综合训练题，共8页。
一、单选题
1．sin45°的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是锐角，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3． 在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
二、填空题
6．已知为锐角，，则= 度．
7．计算： ．
8．中，，，则的值是 .
9．已知tanα= ，那么sinα= ．（其中α为锐角）
10．cs60°＝ ．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于 ．
三、计算题
12．计算：
13．计算：4sin260°+tan45°-2sin30°
四、解答题
14．如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin58°=0.85，cs58°=0.53，tan58°=1.60）
15．计算： ．
五、综合题
16．
（1）计算：cs30°－ +(－1)0
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A=30° ，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，求DE的长．
17．
（1）计算：
（2）如图，将矩形 绕点A顺时针旋转，得到矩形 ，点C的对应点 恰好落在 的延长线上，边 交边 于点E，求证：
18．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
6．【答案】75
【知识点】求特殊角的三角函数值
7．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
8．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
10．【答案】0.5
【知识点】求特殊角的三角函数值
11．【答案】2：3
【知识点】互余两角三角函数的关系
12．【答案】
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
13．【答案】解： 原式=4×（）2+1-2×，
=3+1-1，
=3.
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】解：Rt△ACD中，∵∠ADB=30°，AC=3米，∴AD=2AC=6（m）∵在Rt△ABC中，AB=AC÷sin58°≈3.53m，∴AD﹣AB=6﹣3.53≈2.5（m）．∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
15．【答案】解： ，
= ，
= ．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
16．【答案】（1）解：cs30°－ +(－1)0
；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= AB=1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；含30°角的直角三角形；求特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：连结 、 ，如图，
∵四边形 为矩形，
∴ ，即 .
由旋转，得 ，
∴ .
【知识点】负整数指数幂；矩形的性质；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
18．【答案】（1）解：如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）解：
①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
​
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
【知识点】一次函数的实际应用；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；求特殊角的三角函数值