初中数学湘教版（2024）九年级上册一元二次方程优秀随堂练习题

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第二章一元二次方程综合检测题
一、单选题
1．方程x2－2x＝0的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝2B．x1＝0，x2＝－2
C．x＝0D．x＝2
2．对于任意的实数m，关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．1，2，－15B．1，－2，－15
C．－1，－2，－15D．－1，2，－15
5．如果，那么的值为（ ）
A．2或-1B．0或2C．2D．-1
二、填空题
6．若 无实数解，则m的取值范围是 ．
7．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 .
8．已知一元二次方程的两根为，，则 .
9．已知方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ．
10．解方程： 则方程的两个根是 ， ．
11．阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解.
解决问题：求方程 的解为 .
三、计算题
12．解方程：
（1）x2﹣9=0
（2）x2+2x﹣1=0．
13．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣3x＋1＝0；
（2）（x＋4）2＝5（x＋4）；
14．如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标．
四、解答题
15．解方程：（1） x2－2x=4
（2）(x+1)2－3(x+1)=0
16．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
17．已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ - =0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少?
五、综合题
18．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
19．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求此时方程的根．
20．为进一步改善路容路貌，提升干线公路美化度，某地相关部门初步拟定派一个工程队对一段长度不少于39000米的公路进行路基标准化整修.该工程队以旧设备与新设备交替使用的方式施工，原计划旧设备每小时整修公路30米，新设备每小时整修公路60米
（1）出于保护旧设备的目的，该工程队计划使用新设备的时间比使用旧设备的时间多 ，当这个工程完工时，旧设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过精确的勘察、测测量、规划，以及新增了部分支线公路整修，此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，旧设备在整修公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多 ，同时，因为工人操作新设备不够熟练，使得得新设备整修公路的效率比原计划下降了 ，使用时间比（1）中新设备使用的最短时间多 ，求a的值.
六、实践探究题
21．已知关于的方程.
（1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；
（2）当为何实数时，方程有实数根；
（3）若是方程的两个根，阅读材料：设一元二次方程的两根为，则两根与方程系数之间有如下关系：.根据该材料且，试求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
5．【答案】D
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程
6．【答案】m＜-3
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式；偶次方的非负性
7．【答案】c＞9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
8．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
9．【答案】14或16
【知识点】配方法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
10．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
11．【答案】x=2或 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
12．【答案】（1）解：x2﹣9=0，
∴x2=9，
∴x=±3，
∴x1=3，x2=﹣3
（2）解：x2+2x﹣1=0，
移项得：x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=2，
∴（x+1）2=2，
∴x+1=± ，
∴ x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
13．【答案】（1）解：由x2﹣3x＋1＝0，
∴ ，
而△＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝ = ，
解得：x1＝ ，x2＝ ；
（2）解：方程移项得：（x＋4）2﹣5（x＋4）＝0，
分解因式得：（x＋4）（x＋4﹣5）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
15．【答案】(1) x=1；(2) x=﹣1或x=2
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
16．【答案】（1）3；3
（2）1；大；
（3）解：，
，
，
，
当时，的最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
17．【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴此方程有两个相等实数根
即b2-4ac=(-m)2-4(-)=0
∴m=1
当m=1时，原方程为x2-x+=0
∴x1=x2=，
即菱形边长为.
即当m=1时，四边形ABCD是菱形，此时边长是.
（2）解：把AB=2代入原方程得：22-2m+-=0
∴m=
又由根与系数关系得：AB+AD=m=
∴AD=-2=
又 ∵平行四边形ABCD
∴AB=CD、BC=AD
∴平行四边形ABCD周长=2(2+)=5。
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；菱形的判定与性质
18．【答案】车道的宽为4米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
19．【答案】（1）解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 为正整数，且 ，
∴ ．
当 时，方程为 ，
∴ ， ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
20．【答案】（1）解：设这个工程完工时，旧设备的使用时间至少为x小时,则新设备的使用时间为 小时，根据题意得
答：当这个工程完工时，旧设备的使用时间至少为300小时
（2）解：由题意得
300×(1+3.2a%)×30+60×(1-a%)×300 × (1+ a%+30%)=39000+9000
原方程化简得
解得 或 ，
∵a﹥0
∴a=
答：a的值是
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
21．【答案】（1）解：把代入，得，
解得：，
∴此方程为
根据设方程两根为，则，即，
，
∴方程的另一根是2；
（2）解：①当时，方程是一元一次方程，即，此时的实数解为；
②当时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有，
，
解得：，
即当时，方程有实数根；
（3）解：，
，
整理得，
解得：，
，
；
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）