江苏省扬州市扬州中学文昌教育集团2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省扬州市扬州中学文昌教育集团2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析），共21页。
注意事项：1．本试卷共6页，三大题，满分150分，考试时间为120分钟．请用0．5mm黑色水笔做完整套试卷，画图必须用2B铅笔．
2．请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置，填在试卷上无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）
1. 对称平衡，是自然之法则，也是艺术之灵魂，下列选项分别是扬州大学、扬州地铁、扬州国际博览中心、大运河博物馆的标识，其中的轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，
根据轴对称图形的定义逐项判断，即将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．
【详解】解：将图A沿着某条直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，所以不符合题意；
将图B沿着某条直线折叠，直线两旁部分能够重合，所以符合题意；
将图C沿着某条直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，所以不符合题意；
将图D沿着某条直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，所以不符合题意．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，幂的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算正确，符合题意；
故选：D．
3. 纳米（nm）是非常小的长度单位，．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想．
根据消元的思想解答即可．
【详解】解：将代入，消去后所得到的方程是，
去括号，得，
故选：C．
5. 有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据苹果的个数为定值，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为：；
故选C．
6. 如图，将沿BC方向平移3cm得到，若周长为24cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A. 30cmB. 24cmC. 27cmD. 33cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移性质可得DF=AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=3cm，
∴
=30（cm）
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．
7. 如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（ ）
A. 12B. 10C. 7D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法运图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
根据拼成长方形的面积得到所需图形的个数即可求解．
【详解】解：拼一个长为、宽为的大长方形，
∴拼成长方形的面积，
∴需要类1个，类12个，类7个，
故选：C ．
8. 现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．
【详解】解：根据题意、结合图形可得：
，
解得：，
∴阴影部分面积，
整个图形的面积，
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算法则即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是积的乘方和幂的乘方法则，属于基础题型．幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积．明确计算法则是解题的关键．
10. 已知，，，则a，b，c的关系是______，（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比较幂的大小关系，负整数指数幂，先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再比较底数的大小即可得出结果．
【详解】解：∵，，，且，
∴；
故答案为：．
11. 已知是完全平方式，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式的结构进行分析求解．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
12. 若，则代数式的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据平方差公式，将代数式转化为，再将代入即可得解.
【详解】解：=
又
代入上式，得
=
故答案为6.
【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
13. 若是关于，的二元一次方程，则的值______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，且，
∴，
∴；
故答案为：0．
14. 已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为______________．
【答案】2
【解析】
【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】解：，
①+②，得x+y=2k+1，
又∵x+y=5，
∴2k+1=5，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
15. 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理可得，由平移可得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________．
【答案】
【解析】
【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【详解】如图：连结AC并且延长至E，
∠DCE=180°-∠DCB-∠ACB=105°．
故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．
故答案为105°．
【点睛】考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．
17. 若方程组的解为，则方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，
根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴的解是，
即．
故答案为：．
18. 如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，
据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知，根据折叠得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，
对于（1），根据，再计算即可；
对于（2），根据，计算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）先进行积的乘方和幂的乘方运算，再进行单项式乘以单项式的运算即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式
21. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键：
（1）加减消元法解方程组即可；
（2）代入消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：，
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
原方程组可化为：，
把代入②，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算，化简求值，先计算乘法公式，再合并同类项，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当，时，原式．
23. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题．
（1）先画出向下平移6个单位长度得到的；再画出关于直线的轴对称图形；
（2）在上画出点，使得最小；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小，求三角形的面积，
对于（1），将三个顶点向下平移6，再依次连接可得然后作三个顶点关于直线的对称点，再依次连接可得；
对于（2），根据点A与点关于直线点对称，可知，，根据“两点之间线段最短”可知连接与直线的交点即为点P；
对于（3），根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求作的图形；
【小问2详解】
解：如图所示，点P为所求作的点；
【小问3详解】
解：．
24. 如图，在中，．
尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点，使得．（不写作法，保留痕迹）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂线，根据角平分线，垂线的作法即可求解，掌握角平分线，垂线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：作图如图所示，作的平分线，
作的垂直平分线，交于点，
∴点即为所求．
25. 扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元．
（1）求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？
（2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案．
【答案】（1）“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元
（2）3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键：
（1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可．
【小问1详解】
解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得：
，解得：，
答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；
【小问2详解】
设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且；
∴，
∴或或，
故共有3种购买方案：
方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；
方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；
方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只．
26. 观察下列各式：
……
（1）根据规律可得______（其中为正整数）
（2）运用规律计算：
（3）运用规律计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，得到相应的规律，是解题的关键：
（1）根据已有等式，抽象概括出相应的规律即可；
（2）利用（1）中规律解题即可；
（3）将式子乘以，利用规律解题即可．
【小问1详解】
解：∵
，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
27. 材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
（1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______；
（2）①已知，则______；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
（3）已知实数x、y满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①②20
（3）1
【解析】
【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可；
（2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可；
②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可；
（3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
故答案为：；
【小问2详解】
①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
故答案为：；
②当时，为“完美数”，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1．
28. 如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒．
（1）的度数是______．
（2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）；
②求为何值时．
【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒，
（3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______．
【答案】（1）（2）①②或（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据平角定义即可求得；
（2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案是：；
（2）①旋转的速度是每秒，
∴旋转的度数表示为，
②，
当在左侧时：，
∴，解得，
d当在右侧时：，
∴，解得，
故答案是：或；
（3）当在左侧时，
（ⅰ），如图，
由题意得：，
解得：；
（ⅱ），如图，
由题意得：，
解得：．
②当在右侧时，
（ⅰ），如图，
由题意得：，
解得：．
（ⅱ），
则：，此方程无解，不符合题意；
综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍．
【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想．