山西省忻州市青桐鸣2025届高三下学期5月大联考数学试卷（解析版）

这是一份山西省忻州市青桐鸣2025届高三下学期5月大联考数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若i25z=1-i，i为虚数单位，z为z的共轭复数，则复数z=（ ）．
A．1+iB．1-iC．-1+I D．-1-i
【答案】C
【解析】i25z=1-i，即iz=1-i，即z=1-ii=-1-i，所以z=-1+i．
故选：C．
2．已知全集U=2,3,4,5,6,7，A=2,4,6，B=3,6,7，则∁UA∩B=（ ）．
A．3,6B．3,7C．3,6,7D．6,7
【答案】B
【解析】因为∁UA=3,5,7，B=3,6,7，所以∁UA∩B=3,7．
故选：B．
3．已知向量a=3x,81和向量b=1,9，若a→//b→，则实数x=（ ）．
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】因为a→//b→，所以3x×9=81，即3x=9，所以x=2．
故选：D．
4．已知随机变量X∼N90,σ2，PX>80=0.6，则P8080=0.6，
根据正态曲线的性质可得，P800的解集为xx>m且x≠n，
则fx=x-n2x-m=x3-2n+mx2+2mn+n2x-mn2，
故2n+m=9，
又m+n=3，故n=6，m=-3，
故fx=x-62x+3，则f'x=2x-6x+3+x-62=3xx-6，
令f'x=0，解得x=0或x=6，
由f'x>0可得x6，由f'x0的左焦点为F1，离心率e为102，圆C:x2+y2=a2+b2与E在第一象限的交点为A，且AF1=12，则a= ．
【答案】4
【解析】设双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2，半焦距为c，
因为圆C:x2+y2=a2+b2与E在第一象限的交点为A，所以AF1⊥AF2，
由双曲线的定义得AF2=AF1-2a=12-2a，
由AF2⊥AF1，得AF22+AF12=F1F22，
即12-2a2+144=2c2=4c2=4e2a2=10a2，
解得a=4，a=-12(舍去)．
故答案为：4.
14．已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+1为偶函数，fx+2为奇函数，函数gx=x2-mx-11m>0的最小值为-36，若函数Fx=fx-gx有两个零点s，t，则s+t= ．
【答案】10
【解析】由函数gx=x2-mx-11的最小值为-36，
得gm2=-m24-11=-36，解得m=±10，
又m>0，故m=10，所以gx=x2-10x-11，对称轴为x=5．
因为函数fx+1为偶函数，所以f1+x=f1-x，可得fx=f2-x；
因为函数fx+2为奇函数，所以f2-x=-f2+x，可得fx=-f4-x，
又fx=f2-x，所以f2-x=-f4-x，即f2+x=-fx，
所以fx+4=-fx+2=fx，故函数fx是以4为周期的周期函数，
由f1+x=f1-x，得函数fx关于x=1对称，
所以函数fx关于x=5对称，故Fx=fx-gx关于x=5对称，
所以s+t=10．
故答案为：10.
四、解答题
15．在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且csinA=3acsC，a>2，b=6，c=27．
（1）求角C；
（2）求△ABC的面积；
（3）求向量AB在向量CA上的投影向量的模．
解：（1）由正弦定理，得sinCsinA=3sinA⋅csC，
因为A∈0,π，所以sinA≠0，
所以sinC=3csC，得tanC=3，
因为C∈0,π，所以C=π3．
（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcsC，
因为C=π3，b=6，c=27，代入整理得a2-6a+8=0，
解得a=4（a=2舍去），
所以△ABC的面积S=12absinC=63．
（3）因为CB⋅CA=abcsC=12，
AB=CB-CA，
所以向量AB在向量CA上的投影向量的模为AB⋅CACA=CB-CA⋅CACA=CB⋅CA-CA2CA=12-366=4．
16．如图（1）所示的平面图形中，AD⊥CD，AD∥BC，AD=8，CD=10，BC=4，点P是以CD为直径的半圆上任意一点（不与点C，D重合），以CD为折痕，将半圆所在平面CDP折起，使平面CDP⊥平面ABCD，如图（2）．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求△PBD面积的最大值；
（3）当PD=45时，求平面PBC与平面ABP的夹角的余弦值．
（1）证明：∵平面CDP⊥平面ABCD，平面CDP∩平面ABCD=CD，
AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥平面CDP．
∵AD∥BC，∴BC⊥平面CDP，
∵PD⊂平面CDP，∴BC⊥PD．
∵点P在以CD为直径的半圆上，∴PC⊥PD，
又BC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，
∴PD⊥平面PBC．
（2）解：由（1）得PD⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴PD⊥PB，
∴PB2+PD2=BD2=BC2+CD2=116，
∴S△PBD=12PB⋅PD≤PB2+PD24=29，当且仅当PB=PD=58时取等号，
∴△PBD面积的最大值为29．
（3）解：在平面CDP内过点P作PG⊥DC于点G，
∵平面CDP⊥平面ABCD，平面CDP∩平面ABCD=CD，
PG⊂平面CDP，
∴PG⊥平面ABCD，
以G为坐标原点，以过点G与AD平行的直线为x轴，GC，GP所在的直线分别为y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz，
当PD=45时，PC=DC2-PD2=25，
则PG=PD⋅PCDC=4，可得CG=PC2-PG2=2，
则B4,2,0，P0,0,4，A8,-8,0，D0,-8,0，
则AB=-4,10,0，AP=-8,8,4，DP=0,8,4，
设平面ABP的法向量为m=x,y,z，
m⋅AB=0m⋅AP=0，即-4x+10y=0-8x+8y+4z=0，
令y=2，则x=5，z=6，∴m=5,2,6．
由（1）得平面PBC的一个法向量为DP，
csm,DP=m⋅DPmDP=4065×80=21313，
∴平面PBC与平面ABP的夹角的余弦值为21313．
17．已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2n+1+1．
（1）求an的通项公式；
（2）若∀n∈N*，a2n>λn⋅3n恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）Sn=2n+1+1，则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1+1-2n+1=2n，
当n=1时，a1=S1=22+1=5，不符合an=2n，
所以an=5,n=12n,n≥2．
（2）因为∀n∈N*，a2n>λn⋅3n，所以∀n∈N*，λ-1时，不等式gfx≤0恒成立，求a的取值范围．
（1）解：函数fx的定义域为-1,+∞，
又f'x=ax+1-2=a-2x+1x+1，
当a0，当x>x0时，g'x0，gπ=2π-eπ+csπ2e时，存在u∈0,u1，
使gu>0，即gfx>0，与题设矛盾．
综上，实数a的取值范围为0,2e．