河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高三下学期5月月考 数学试卷（含解析）

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1.若i25z=1−i，i为虚数单位，z−为z的共轭复数，则复数z−=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
2.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，A={2,4,6}，B={3,6,7}，则(∁UA)∩B=( )
A. {3,6}B. {3,7}C. {3,6,7}D. {6,7}
3.已知向量a=(3x,81)和向量b=(1,9)，若a//b，则实数x=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.已知随机变量X∼N(90,σ2)，P(X>80)=0.6，则P(800的解集为{x|x>m且x≠n}(m,n∈R)，m+n=3，则f(x)的极大值为( )
A. 0B. 36C. 72D. 108
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.现有一组数据分别为71，63，67，83，73，63，关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 极差为20B. 众数为63C. 方差为1433D. 中位数为71
10.已知函数f(x)=(12)sin2x+ 3cs2x，则下列说法正确的是( )
A. π2为函数f(x)的一个周期
B. 函数f(x)的值域为[14,4]
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称
D. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数是奇函数
11.小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类.每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分.电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道.小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答.已知小明每道单选题选对的概率均为34，每道多选题全部选对的概率均为13，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )
A. 小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为3566
B. 在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为29
C. 当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18
D. 当小明作答的试题中有且仅有n(3≤n≤5,n∈N*)道多选题时，其单选题总得分的期望为60−6n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=sinx，则f(π12)⋅f′(π12)=______.
13.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，离心率e为 102，圆C：x2+y2=a2+b2与E在第一象限的交点为A，且|AF1|=12，则a=______.
14.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)为奇函数，函数g(x)=x2−mx−11(m>0)的最小值为−36，若函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点s，t，则s+t=______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且csinA= 3acsC，a>2，b=6，c=2 7.
(1)求角C；
(2)求△ABC的面积；
(3)求向量AB在向量CA上的投影向量的模.
16.(本小题12分)
如图(1)所示的平面图形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=8，CD=10，BC=4，点P是以CD为直径的半圆上任意一点(不与点C，D重合)，以CD为折痕，将半圆所在平面CDP折起，使平面CDP⊥平面ABCD，如图(2).
(1)证明：PD⊥平面PBC；
(2)求△PBD面积的最大值；
(3)当PD=4 5时，求平面PBC与平面ABP的夹角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n+1+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若∀n∈N*，a2n>λn⋅3n恒成立，求实数λ的取值范围.
18.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=16y的准线为l，以(1,2)为圆心，面积为10π的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为2|PQ|.
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交Γ于A，B两点，使|MA|⋅|MB|=3 2|AB|？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由.
19.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=aln(x+1)−2x−2，g(x)=2x−ex+csx.
(1)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：函数g(x)存在两个零点；
(3)当x>−1时，不等式g(f(x))≤0恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：若i25z=1−i，i25=(i4)6⋅i=i，
则z=1−ii25=1−ii=(1−i)⋅(−i)i(−i)=−1−i，
故z−=−1+i.
故选：C.
根据复数的运算法则及共轭复数的定义求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为全集U={2,3,4,5,6,7}，A={2,4,6}，B={3,6,7}，
可得：∁UA={3,5,7}，
所以(∁UA)∩B={3,7}.
故选：B.
按照补集交集的定义求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由a//b，
可得3x×9=81×1，即3x=9，解得x=2.
故选：D.
根据向量共线的坐标表示得到方程，解指数方程求解即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，μ=90，又P(X>80)=0.6，
则P(800，f(x)递增，当00,b>0)的右焦点为F2，半焦距为c，
因为圆C：x2+y2=a2+b2与E在第一象限的交点为A，所以AF1⊥AF2，
由双曲线的定义得|AF2|=|AF1|−2a=12−2a，
由AF2⊥AF1，
得|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2，
即(12−2a)2+144=(2c)2=4c2=4e2a2=10a2，
即a2+8a−48=0，
又a>0，
则a=4.
故答案为：4.
由已知条件结合双曲线的定义出|AF2|=12−2a，再由点A在圆C：x2+y2=a2+b2上，可得|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2，结合离心率ca= 102，从而可求出a.
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
14.【答案】10
【解析】解：因为函数g(x)=x2−mx−11的最小值为−36，
所以g(m2)=−m24−11=−36，
所以m24=25，m2=100，
解得m=±10，
又m>0，故m=10，
所以g(x)=x2−10x−11，对称轴为x=5.
因为函数f(x+1)为偶函数，
所以f(1+x)=f(1−x)，可得f(x)=f(2−x)；
因为函数f(x+2)为奇函数，
所以f(2−x)=−f(2+x)，可得f(x)=−f(4−x)，
又f(x)=f(2−x)，
所以f(2−x)=−f(4−x)，
用x替换2−x，得f(x)=−f(x+2)，
即f(2+x)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
由f(1+x)=f(1−x)，得函数f(x)关于x=1对称，
所以函数f(x)关于x=5对称，
故F(x)=f(x)−g(x)关于x=5对称，
所以s+t=10.
故答案为：10.
由g(x)的最小值为−36求出m，又由f(x+1)为偶函数，f(x+2)为奇函数，推出f(x)是以4为周期的周期函数，即得F(x)的对称轴即可求解．
本题考查了二次函数的性质，考查了抽象函数的奇偶性及周期性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】C=π3；
6 3；
4.
【解析】(1)因为csinA= 3acsC，
由正弦定理可得sinCsinA= 3sinAcsC，
在△ABC中，所以sinA>0，
可得tanC= 3，
因为C∈(0,π)，
所以C=π3；
(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，
因为C=π3，b=6，c=2 7，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC
即28=a2+36−2a⋅6⋅12，
整理得a2−6a+8=0，
解得a=4(a=2舍去)，
所以△ABC的面积S=12absinC=6 3；
(3)因为向量AB在向量CA上的投影向量的模长为|AB⋅CA|CA|⋅CA|CA||，
而AB=CB−CA，
CB⋅CA=|CB|⋅|CA|csC=4×6×12=12，|CA|=6，
所以向量AB在向量CA上的投影向量的模为：|(CB−CA)⋅CA||CA|=|CB⋅CA−CA2||CA|
=|12−36|6=4.
(1)根据正弦定理边换角得tanC= 3，则得到C=π3；
(2)首先利用余弦定理求出a=4，再利用三角形面积公式即可得到答案；
(3)根据向量数量积定义求得CB⋅CA=12，根据投影向量模的公式即可得到答案．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】证明见解析； 29； 2 1313.
【解析】(1)证明：∵平面CDP⊥平面ABCD，平面CDP∩平面ABCD=CD，
AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥平面CDP.
∵AD//BC，∴BC⊥平面CDP，
∵PD⊂平面CDP，∴BC⊥PD.
∵点P在以CD为直径的半圆上，∴PC⊥PD，
又BC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，
∴PD⊥平面PBC.
(2)由(1)得PD⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴PD⊥PB，
∴PB2+PD2=BD2=BC2+CD2=116，
∴S△PBD=12PB⋅PD≤PB2+PD24=29，当且仅当PB=PD= 58时取等号，
∴△PBD面积的最大值为29.
(3)在平面CDP内过点P作PG⊥DC于点G，
∵平面CDP⊥平面ABCD，平面CDP∩平面ABCD=CD，
PG⊂平面CDP，
∴PG⊥平面ABCD，
以G为坐标原点，以过点G与AD平行的直线为x轴，GC，GP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G−xyz，
当PD=4 5时，PC= DC2−PD2=2 5，
则PG=PD⋅PCDC=4，可得CG= PC2−PG2=2，
则B(4,2,0)，P(0,0,4)，A(8,−8,0)，D(0,−8,0)，
则AB=(−4,10,0)，AP=(−8,8,4)，DP=(0,8,4)，
设平面ABP的法向量为m=(x,y,z)，
则m⊥ABm⊥AP，则m⋅AB=0m⋅AP=0，即−4x+10y=0−8x+8y+4z=0，
令y=2，则x=5，z=6，∴m=(5,2,6).
由(1)得平面PBC的一个法向量为DP，
|cs|=|m⋅DP||m||DP|=40 65× 80=2 1313，
∴平面PBC与平面ABP的夹角的余弦值为2 1313.
(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线线平行的性质得到另一条线的线面垂直，最后结合已知条件和线面垂直的判定定理得出最终结论；
(2)首先根据线面垂直的性质得到线线垂直关系，再利用勾股定理得出PB2+PD2的值，最后通过基本不等式求出△PBD面积的最大值；
(3)首先根据已知条件建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，求出平面ABP的法向量；最后利用向量的夹角公式求出两个平面法向量夹角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】an=5,n=12n,n≥2；
(−∞,6481).
【解析】(1)由Sn=2n+1+1，
得a1=S1=22+1=5，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1+1−(2n+1)=2n，
验证a1=5不符合an=2n，
故an=5,n=12n,n≥2；
(2)对∀n∈N*，都有a2n>λn⋅3n，
可得λ0，故存在直线n，其方程为y=±3x−4.
(1)求出Q(0,−1)，设P(x,y)，则|y+4|=2 x2+(y+1)2，化简即可；
(2)设直线n的方程为y=kx−4，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简MA⋅MB，代入韦达定理式，求出方程即可．
本题考查抛物线方程的应用，属于难题．
19.【答案】(1)函数f(x)=aln(x+1)−2x−2的定义域为(−1,+∞)，
f′(x)=ax+1−2=a−2(x+1)x+1，
当a0，g(x)在(−∞,0]上单调递增；
当x>0时，−1≤csx≤1，ex>1，故−ex−csx0讨论g′(x)的单调性以及值域，再由g′(x)得到g(x)的单调性，当x>0时，构造函数h(x)利用导数结合零点存在定理分析；
(3)先根据(2)中得到的g(x)的单调性画出其大致图象，再由(1)中的结论分类讨论，求出f(x)值域，最后由g(f(x))≤0恒成立，确定a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于难题．x
(−1,a2−1)
a2−1
(a2−1,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
alna2−a
单调递减