山东省泰安市新泰市第一中学老校区（新泰中学）2024−2025学年高二下学期期中模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市新泰市第一中学老校区（新泰中学）2024−2025学年高二下学期期中模拟考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
2．在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A．45B．60C．72D．96
3．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A．B．C．D．e
4．春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（ ）

A．180B．240C．360D．420
5．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．11次传球后球在甲手上的概率是
D．次传球后球在甲手上的概率是
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
10．在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（ ）
A．常数项是B．各项系数和是64
C．第4项的二项式系数最大D．奇数项二项式系数和是32
11．设函数，，则下列命题正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在上单调递增，在上单调递减
C．当时，恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题（本大题共3小题）
12．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为 .
13．甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：
（1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
（2）若的值能使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜.
那么甲胜的概率为 .
14．设是函数的零点，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？
(2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
16．已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最值．
17．已知展开式的二项式系数之和为．
(1)求展开式中所有项的系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)若能被整除，求正数的最小值．
18．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
19．已知函数（）
(1)当时，讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点
①求的取值范围
②证明：
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为已知，由组合数的性质得到或，
解得或.
故选：D.
2．【答案】D
【详解】由于的展开式为，且的展开式，
记项的系数为，所以，，
故.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，所以ABD错误，C正确.
故选C.
4．【答案】D
【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，
若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，
若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，
所以最多有种栽种方案.
故选D.
5．【答案】B
【详解】根据题意由可得；
由可得，即；
所以，
解得，即A、C、D均错误；
易知，即B正确.
故选B.
6．【答案】A
【详解】构造函数，因为对任意的，都有，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以，
由可得，即，所以.
故选A.
7．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.
【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则,
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率.
故选D.
8．【答案】C
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，
2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故A错误；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，
3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
设次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则
，
于是得，
故，则，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，
数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，
所以11次传球后球在甲手上的概率是，故C正确；故错误.
故选C.
9．【答案】BD
【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为随机变量满足，，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故C错误；
对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，
所以，所以，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】通项公式，
令，可得，所以常数项为，所以A正确；
令，已知各项系数和是，所以B错误；
第4项二项式系数最大，所以C正确；
奇数项二项式系数和为，所以D正确．
故选ACD．
11．【答案】AC
【详解】的导函数为，
则，，
对于A，，即，解得，故A正确；
对于B，，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，故B错误：
对于C，可化为.
设，又，
在上单调递减，
在上恒成立，
即在上恒成立.
又在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最大值，，，故C正确；
对于D，若函数有两个极值点，
则有两个零点，即，即有两个不等实根.
又在上单调递增，在上单调递减，，时，，，
所以，即，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】由题意可知，，
又因为，
所以
所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.
13．【答案】
【详解】甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有基本事件种基本事件；
要使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，只需：
i. ，共有共6种情况；
ii.，共有共5种情况；
iii.，共有共4种情况；
一共15种情况.
所以甲胜的概率为.
14．【答案】3
【详解】由题意，．
注意到，
所以，
在两边同时加上，
即，
即，
设函数，显然该函数是实数集上的增函数，
由，
即即，
所以.
15．【答案】(1)72
(2)243
(3)150
【详解】（1）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，
先将丙丁戊排成一列有种方法，
再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）.
（2）去三个城市游览，每人只能去一个城市，
可以有城市没人去，因此每个人都有种选择，
所以不同游览方法有（种）.
（3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，
则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是（种）.
16．【答案】(1)单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值；
(2)最小值为,最大值为2．
【详解】（1）函数的定义域为,
．
令得,或（舍去）,
当时,,函数单调递减；
当时,,函数单调递增,
所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为．
函数的极小值为,无极大值．
（2）由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,,,
又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2．
17．【答案】(1)243
(2)80
(3)3
【详解】（1）由已知可得，，解得．
所以，
令，得，
即的展开式中所有项的系数和为；
（2）二项式的展开式的通项为，，
令，解得，所以常数项为；
（3）因为
，
由于能被整除，
故当能被整除，只需满足能被整除，
所以正数的最小值为．
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析
【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果；
（2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可.
【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
所求概率；
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为：
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
19．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）当时
，（）
，
令，
如图表示的关系如下，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）①
，
因为有两个极值点
即：在有两个不相等的实根，
所以，
所以，
②由①得
要证
即证：，
只需证
令
令
则恒成立，
所以在上单调递减
又因为
由零点存在性定理得：，使得，即，
所以，单调递增.
时，，单调递减.
则
因为在上单调递增
所以
所以，即得证.1
2
3
0
1
2
3
1
3
0
0
单调递增
单调递减
单调递增