2025年中考数学二轮培优练习难点17几何综合模型（5大热考模型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2020•武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【典例1-3】（2022•开州区模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为AC边上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．
（1）如图1，若AB＝6，AE＝，求ED的长；
（2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝BF；
（3）如图3，若AB＝4，连接CF，当CF+BF取得最小值时．请直接写出S△CEF的值．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【变式1-2】已知直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A．8个B．4个C．5个D．6个
【变式1-3】如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
题型二：两垂一圆构造直角三角形模型
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；
(2)延长与AB的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
【典例2-2】（2023·福建泉州·二模）如图，是半圆的直径，与半圆相切于点，连接并延长，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，6），点C在坐标轴上，若△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【变式2-2】（2022·浙江宁波·二模）如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线 相交于点，在上取一点，使得，过点作 交于点 ．
(1)证明：；
(2)如图 2，若，且恰好经过圆心，求的值；
(3)若，设的长为．
①如图3，用含有的代数式表示的周长；
②如图4，恰好经过圆心，求 内切圆半径与外接圆半径的比值．
【变式2-3】（2021·浙江杭州·一模）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设＝α．
（1）求∠EAG的度数．
（2）当α＝时，求tan∠AEG．
（3）用α的代数式表示，并说明理由．
【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接交于点，若，，，求线段的长．
题型三：胡不归模型
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
【典例3-2】（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【典例3-3】（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【尝试初探】
（1）如图①，在四边形中，若，，，求的长；
【深入探究】
（2）如图②，在四边形中，若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．10
【变式3-2】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标．
【变式3-4】（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边CE上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【变式3-5】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少?
【变式3-6】（2023·广西柳州·二模）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【变式3-7】（2022·四川成都·模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
题型四：阿氏圆模型
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
【典例4-2】（2023·浙江衢州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，，，点是第一象限的动点且，线段绕点在第一象限转动；
（1）在转动过程中，求点到的最近距离 ；
（2）试求的最小值 ．
【典例4-3】（2023·重庆万州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
(1)如图，若，求的长；
(2)如图，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
(3)在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为，当取得最小时，直接写出的值．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（22-23九年级下·江苏徐州·阶段练习）在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是 ．
【变式4-2】（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．

【变式4-3】（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .

【变式4-4】（2022·广东广州·一模）已知，AB是⊙O的直径，AB＝，AC＝BC．
(1)求弦BC的长；
(2)若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
(3)如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．
【变式4-5】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【变式4-6】（2021·重庆九龙坡·二模）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
(3)如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求．
题型五：瓜豆原理模型
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【典例5-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )

A．B．C．D．
【典例5-3】（2023·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．已知点，．
(1)在点，，中，______是线段的关联点；
(2)是以点为圆心，r为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求r的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线G的关联点都是的关联点，直接写出r的最小值．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·安徽六安·三模）如图，在等边中，以A为直角顶点作等腰直角，分别交、于点E、F，N为线段上一动点，M为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-2】（2024·山东德州·二模）如图，在矩形中，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．5C．3D．1
【变式5-3】（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
【变式5-4】（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
【变式5-5】（2022九年级·全国·专题练习）若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接．
(1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②的最小值是 ；
(2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．
(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为 ．
【变式5-6】（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
题型二：两垂一圆构造直角三角形模型
题型三：胡不归模型
题型四：阿氏圆模型
题型五：瓜豆原理模型
分类讨论:
若AB=AC,则点C在以点A 为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节
平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形
分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，
比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。