2025年中考数学二轮培优练习难点07 圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：圆的基本和最值问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A．B．C．2D．1
【典例2】（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．

(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．

【变式1-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）

A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
【变式1-2】（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽合肥·三模）如图，P为线段上一动点（点P不与点A，B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，交点为Q．若，点H是线段的中点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．2
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为 ．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ．
4．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．
（1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留）
（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．

7．（2023·四川乐山·模拟预测）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ___________．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点，m为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·湖南·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．A，B两点均为格点，请仅用无刻度直尺找出经过A，B两点的圆的圆心O，并保留作图痕迹．
9．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型二：垂径定理及其应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4B．C．5D．
【变式2-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．
【变式2-4】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·广东东莞·一模）如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知的半径为5，是的弦，P是弦的延长线的一点，若，，则圆心O到弦的距离为（ ）
A．B．6C．D．4
3．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦AB长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．（2024·云南怒江·一模）如图，是的弦，半径，垂足为D，设，，则的半径长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为( )
A．8B．12C．16D．20
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别是以为直径的两个半圆，其中是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若，，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．
8．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦CD与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．

9．（2024·湖南·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则 m．
10．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，．
(1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）
题型三：圆心角、弦、弧之间的关系
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A．B．C．D．a，b大小无法比较
【变式3-1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）

A．30°B．25°C．20°D．10°
【变式3-2】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

【变式3-3】（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．B．32C．3D．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，． 已知，碗深，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是的直径，．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，中的度数为，是的直径，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法比较
6．（2023·云南大理·一模）如图，在中，AB是的直径，，、为弧AB的三等分点，是AB上一动点，的最小值是 ．

7．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为的的直径，是的中点，连接CD交AB于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求AD的长．
(3)如图，作于点，交AD于点，射线CB交AD的延长线于点，若，求的长．
题型四：圆周角定理
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形为菱形
【变式4-1】（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

【变式4-3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-6】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

【中考模拟即学即练】
1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，AB是的直径，弦于点，，的半径为，则弦CD的长为( )

A．3B．C．D．9
2．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点，重合），连接，，，AB与相交于点，过点作交的延长线于点．
(1)写出图中一对相似三角形：_________；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
5．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．
题型五：圆周角定理的推论和应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．4
【变式5-1】（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接．若，则的度数是（ ）

A．30°B．C．D．
【变式5-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ．
【变式5-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-5】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，AD是直径，若，则 ．
【变式5-6】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
【变式5-7】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
【变式5-8】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【中考模拟即学即练】
1．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（ ）
A．B．C．6D．8
3．（2024·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则 ．
4．（2024·江苏徐州·三模）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ．
题型六：圆内接四边形
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式6-4】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-5】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【变式6-6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，AB为的直径，将沿直线AB翻折到，点在上．连接CD，交AB于点，延长BD，CA，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 AB 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川成都·三模）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．60°
3．（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是的外心，若，求弦所对的圆周角 ．
4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北·模拟预测）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论I：连接必得到等腰梯形；
结论Ⅱ：连接的最大值为8．
A．I，Ⅱ都对B．I，Ⅱ都不对C．I对Ⅱ不对D．I不对Ⅱ对
6．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点是延长线上的一点，且平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
7．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
题型一：圆的基本和最值问题
题型二： \l "题型二：垂径定理及其应用" 垂径定理及其应用
题型三： \l "题型三：圆心角、弦、弧之间的关系" 圆心角、弦、弧之间的关系
题型四： \l "题型四：圆周角定理" 圆周角定理
题型五： \l "题型五：圆周角定理的推论和应用" 圆周角定理的推论和应用
题型六： \l "题型六：圆内接四边形" 圆内接四边形