2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习08 函数及其性质（选填题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结
1.考点方面
函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如 2024 年新课标 Ⅰ 卷第 6 题考查分段函数单调求参数，2023 年新课标 Ⅱ 卷第 4 题由奇偶性求 a 值。
函数综合应用：涉及函数值比较（2024 年新课标 Ⅰ 卷第 8 题）、函数零点与参数关系（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 6 题）、不等式恒成立求最值（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题）。还考查抽象函数性质（2022 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题利用函数方程求累加和）。
导数与函数结合：如 2022 年新课标 Ⅰ 卷第 12 题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导数工具性。
2.题目设置方面
以选择题为主，分值 5 分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。
1.题型与分值：预计 2025 年仍以选择题或填空题形式出现，分值 5-6 分，保持对函数核心性质的考查。
2.考查方向
核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过奇偶性与对称性的综合推导函数特征。
综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。
创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，注重思维灵活性与对知识的综合运用。
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）
函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
（多选）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
【名师押题·第一题】已知是奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【名师押题·第二题】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第三题】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ）
A．B．C．1D．
【名师押题·第四题】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
【名师押题·第五题】（多选）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
6
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
B．C．D．
判断指数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数；研究对数函数的单调性
2024年新高考I卷
8
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
求函数值；比较函数值的大小关系
2024年新高考II卷
6
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
B． C．1 D．2
函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；求余弦（型）函数的奇偶性
2024年新高考II卷
8
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
B． C． D．1
由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题
2023年新高考I卷
4
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
2023年新高考I卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析
2023年新高考II卷
4
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
B．0
C．D．1
由奇偶性求参数；函数奇偶性的应用
2022年新高考I卷
12
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
B．
C．D．
函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；抽象函数的奇偶性
2022年新高考II卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
B．
C．0D．1
函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值