2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习07 新定义（解答题）（2份，原卷版+教师版）

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新高考数学新定义解答题考查情况总结​
考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如 2024 年新高考全国 I 卷 “可分数列” 的新定义，结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。​
题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习新知识并解决问题的素养。​
2025 年新高考新定义解答题高考预测​
题型与考查形式：预计 2025 年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续问题增加难度，深入考查应用能力。​
考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。
一、数列新定义问题
1. 考察对定义的理解。
2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.
3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.
二、函数新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
关于新定义题的思路有：
1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
3.将已知条件代入新定义的要素中；
4.结合数学知识进行解答.
三、集合新定义问题
对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
(1)若．
①若，，求；
②若为偶数，证明：；
(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题）
定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
【名师押题·第一题】已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【名师押题·第二题】已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；
(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.
【名师押题·第三题】已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的项数为时，求的值；
(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．
【名师押题·第四题】设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
【名师押题·第五题】设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
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（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算，数列与概率交汇结合