陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量不共线，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C 三点共线D. 三点共线
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C D.
4. 在中，，，则角A的大小为（ ）
A. B. 或C. D. 或
5. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且与的夹角为钝角，则
C. 若平面向量两两的夹角相等，且，则
D. 若，且，则四边形为菱形
11. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是定义在上奇函数， 当时，，则的值为_______.
13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积______．

14. 平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得．
（1）求点和点之间的距离；
（2）求两山顶间距离．
16. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域.
17. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
18. 已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围．
19. 设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．

（1）试求向量的坐标，并求出当时的值；
（2）若为锐角，求的取值范围；
（3）若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值．
2024－2025学年第二学期期中考试
2027届高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次不等式解出集合，由指数函数的运算解出集合，再求并集.
【详解】，，
所以.
故选：C
2. 已知平面向量不共线，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量共线的充要条件计算即可.
【详解】对于A，若三点共线，则存在唯一实数满足，
即，整理得，
又不共线，则，显然该方程无解，故A错误；
对于B，若三点共线，则存在唯一实数满足，
即，整理得，
又不共线，则，显然时符合要求，故B正确；
对于C，若三点共线，则存在唯一实数满足，
即，整理得，
又不共线，显然不存在使得上式成立，故C错误；
对于D，若三点共线，则存在唯一实数满足，
即，同上，显然不存在使得上式成立，故D错误.
故选：B
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】ABC选项均利用奇函数的定义证明奇函数，举反例判断其不是增函数；D选项利用奇函数的定义证明奇函数，利用定义法证明其为增函数.
【详解】A，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故A错误；
B，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故B错误；
C，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故C错误；
D，因，则，故定义域为，
，则为奇函数，
且，
则
因，则，
又，，
则
，
则，即，
则，即，
则是上的增函数，故D正确.
故选：D
4. 在中，，，则角A的大小为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
5. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再利用投影向量的意义求解即可.
【详解】依题意，
所以在上的投影向量为.
故选：C.
6. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.
【详解】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选：.
【点睛】本题主要考查扇形弧长公式.
7. 已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】变形得到，在上的单调递减，结合零点存在性定理得到，从而得到或，故，其他不正确.
【详解】，
其为上的单调递减函数，
其中，，
故只有一个零点，
又，，
又，所以，
或，
若，则，
若，则，
故，D正确，C错误；或，AB错误.
故选：D
8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值，最后求面积.
【详解】

，
，，
，且，
当时，时，也取得最大值,
此时， ，
.
故选：A
【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD．
【详解】对A,由，可得，且，故A错误；
对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确；
对C,若，则的模为，故C错误；
对D,设,若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且与的夹角为钝角，则
C. 若平面向量两两的夹角相等，且，则
D. 若，且，则四边形为菱形
【答案】D
【解析】
【分析】当时，命题不成立判断A；当时，两向量反向，判断B；平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，分别求解判断C；根据向量线性运算的几何表示判断D.
【详解】若，虽然有，，但不一定有，A错；
若与的夹角为钝角，则，得，
但当时，，两向量反向，夹角为不是钝角，B错；
若平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，
当夹角为时，，
当夹角为时，
即，C错误；
若，即，
则，所以是平行四边形，
则，
又，即，
所以，
所以，所以是菱形，D正确．
故选：D．
11. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A由利用正弦定理有即可判断，对于B在锐角中有，即，利用正弦函数的单调性即可判断，对于C由即可判断，对于D利用正弦定理和余弦定理得，即，利用得，由即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理有，所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误，
对于B：在锐角中有：，又在为增函数，所以，故B正确；
对于C：由有，
又为的内角，所以，即，
所以为锐角三角形，故C正确；
对于D：由正弦定理有，又由余弦定理有，
即，又，所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是定义在上的奇函数， 当时，，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用奇偶性得，再代入计算即可.
【详解】是定义在上的奇函数,
,
又当时，，
.
故答案为：.
13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积______．

【答案】##
【解析】
【分析】由求出，然后在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，然后利用三角形的面积公式可求出其面积.
【详解】因为，，所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
所以的面积为，
故答案为：
14. 平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值.
【详解】由，得，
整理得，依题意，，不等式恒成立，
则，因此，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得．
（1）求点和点之间的距离；
（2）求两山顶间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中在两点观测到的俯角，得出相关角，利用正弦定理，可得长度；
（2）先在中利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到.
【小问1详解】
由题意可得，，，，
中，根据正弦定理，，
所以，则.
【小问2详解】
在中，，
由正弦定理可得：，，
中，，
由余弦定理得：
，
.
所以两山顶间的距离为.
16. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解.
【小问1详解】
由图可知，，
函数的最小正周期为，，
，可得，
，则，，则，
所以
【小问2详解】
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
当时，，则，所以，
因此在区间上的值域为.
17. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用边化角及辅助角公式即可求解；
（2）利用正弦定理、和差公式、辅助角公式计算可得，根据题意求出角的范围，利用正切函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
，即，
因，
所以，
所以，即，
因为为三角形的内角，
所以，所以.
【小问2详解】
已知，，
所以
，
因为，即， 解得，
所以，
所以，所以，
.
18. 已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解；
（2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题；
（3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解.
【小问1详解】
因为①，
则②，
故联立上述方程，解得；
【小问2详解】
由（1）知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，所以，而在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以，
所以的取值范围是；
【小问3详解】
方程等价于，
即，，
令，则方程化为，（），
因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个，
所以，（）有两个不同的正根、，
记，
所以，解得，
所以．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19. 设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．

（1）试求向量的坐标，并求出当时的值；
（2）若为锐角，求的取值范围；
（3）若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值．
【答案】（1），；
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）由比例关系得到，结合向量减法法则得到，同理可得，两边平方，结合向量数量积公式求出，开方得到模长；
（2）若为锐角，则且不同向共线，利用基底法和向量数量积公式得到，结合正弦和余弦函数单调性，得到；
（3）作出辅助线，得到四边形与平行四边形的面积比为，结合平行四边形与平行四边形的面积比为，求出答案.
【小问1详解】
由题意得，故，
因为为中点，，所以，
因为，
所以，
所以；
所以；
同理，，，为的中点，所以，
故，
则，
即，
，又，故
，
故；
【小问2详解】
，
，
若为锐角，则且不同向共线，
由于，两向量显然不共线，
其中
，
故，，
又是平面内相交成角的两条不共线射线，故，
在上单调递减，
设，故，其中为锐角，
而在上单调递增，所以，
而，故；
【小问3详解】
连接，与相交于点，连接，
则，且，点为中点，四边形为平行四边形，
其中，，
所以，
设，则，，
所以，
故四边形与平行四边形的面积比为，
又平行四边形与平行四边形的面积比为，
故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值.