陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共32分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 在三角形中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线可能异面
B. 直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C. 三角形可能是钝角三角形
D. 四棱锥的体积保持不变
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A. 若，则B. 若．则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 是周期为的函数B. 与函数是同一函数
C. 不是的一条对称轴D. 在区间上的取值范围是
11. 已知分别是锐角三个内角对边，若，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 取值范围是
D. 若平分交于点，且，则的最小值为
三、填空题（每小题4分，共12分）
12. 已知，则__________.
13. 若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为________.
14. 在中，，且，若，则______．
四、解答题（共5小题，58分）
15. 如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm.
（1）求正四棱台的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积.
16 已知平面向量，，，且，．
（1）若//，且，求的坐标；
（2）若向量与夹角是锐角，求实数的取值范围．
17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
19. 材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
（1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：；
（2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
（3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值．
陕西省西安市陕西师范大学2024-2025学年
高一下学期期中考试数学试题
一、单选题（每小题4分，共32分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故.
故选：B.
2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，然后再求复数的虚部即可.
【详解】由，
可得，
所以的虚部是，
故选:A.
3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.
【详解】设投影向量是，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D.
4. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为，
，，
.
故选：B.
5. 在三角形中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可.
【详解】由可得：，
所以，又，
所以，
结合内角和定理，所以.
故选：B
6. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果.
【详解】
如图所示：满足，，且，但是，
所以可知是，，共面的不充分条件；
当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交，
又因为，，所以必然有，
即是，，共面的必要条件，
综上可知是，，共面的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，
设，则，，，再利用向量数量积的坐标运算即可求得.
【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，
设，则，，，所以，
所以
.
当时，取得最小值.
故选：D.
8. 如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线可能异面
B. 直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C. 三角形可能是钝角三角形
D. 四棱锥的体积保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，MN的中点为O,可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定.
详解】如图所示，连接有关线段.
设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O,则AC1的中点也是O,
又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，
因为平面，∴故B错误；
设,则,设,
易得

因为
为锐角；
因为
为锐角，
因为
当时取得最小值为
为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，
由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的
(∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，
故D正确.
故选：D.
【点睛】本题综合考查空间的线线角，几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在△中，，当固定变短时，满足可得到为锐角）.关键是利用计算证明时要仔细计算，严格论证，解决体积问题时，要灵活地进行体积转化与分割.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A. 若，则B. 若．则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B.
【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
对于B，设，由，得，
则，因此，，B正确；
对于C，取，满足，而，，C错误；
对于D，由，得都是实数，因此，D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A. 是周期为的函数B. 与函数是同一函数
C. 不是一条对称轴D. 在区间上的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦函数的周期计算判断A，应用诱导公式计算判断B，代入检验计算判断C，根据正弦函数值域计算判断D.
【详解】A选项：对于函数，根据正弦函数周期公式，这里，则，A正确．
B选项：，与不是同一函数，B错误．
C选项：当时，，不是，所以不是的一条对称轴，C正确．
D选项：当时，，则，D正确．
故选：ACD.
11. 已知分别是锐角三个内角的对边，若，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 若平分交于点，且，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可求得，由此可得A正确；由，利用三角恒等变换知识可将化为，结合正弦型函数值域求法可知B错误；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将化为，结合正切函数值域可知C正确；利用面积桥可求得，由此可得，利用基本不等式可求得，验证可知取等条件无法成立，知D错误.
【详解】对于A，由正弦定理得：，
，，
，又，，A正确；
对于B，
；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
即的取值范围为，B错误；
对于C，由正弦定理得：；
由B知：，，又，
，，即，C正确；
对于D， ，，
即，，即，
（当且仅当，即时取等号），
当时，由余弦定理得：，
，即为直角三角形，不合题意；
，D错误.
故选：AC.
三、填空题（每小题4分，共12分）
12. 已知，则__________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解.
【详解】由，得.
故答案为：
13. 若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆柱的高为，然后根据题意列方程求出，再利用圆柱的体积公式可求得答案.
【详解】设圆柱的高为，
因为圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，
所以，解得，
所以圆柱的体积为.
故答案为：
14. 在中，，且，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】推导出为的重心，由平面向量数量积的运算性质可得出，利用两角和的正切公式推导得出，代入所求等式，化简得出，延长交于点，则为的中点，且，结合平面向量数量积的运算性质以及余弦定理得出与的等量关系，即可得出的值.
【详解】在中，记内角、、的对边分别为、、，
因为，即，
则，即，故为的重心，
所以，，则，
因为，则、、均不为直角，
因为，
整理可得，
所以，，
可得
，
延长交于点，则为的中点，且，可得，
如下图所示：
又因为，即，
所以，，
即，
整理可得，故，因此，.
故答案为：.
四、解答题（共5小题，58分）
15. 如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm.
（1）求正四棱台的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出棱台的侧面的高，结合棱台的结构特征以及表面积公式即可求得答案；
（2）由题意可知圆台的上下底面圆与与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，由此可求出圆台的体积.
【小问1详解】
如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形，
分别取的中点为，连接，
过点M作于H，
则，
故，
所以正四棱台的表面积为；
【小问2详解】
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为20cm，下底面半径为40cm，高为60cm，
则圆台的体积为.
16. 已知平面向量，，，且，．
（1）若//，且，求的坐标；
（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设，根据向量平行以及其模长，列出方程组，求解即可；
（2）求得与的坐标，结合其数量积为正数，且不共线，进而求得的范围.
【小问1详解】
设，，，，即；
又，，解得或
或．
【小问2详解】
由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明线面平行，只需在平面找到一条直线与平行即可，显然为；
（2）证明线线垂直，只需证 面 易证,，进而得证；
（3）由题可知，根据等体积法计算即可.
【小问1详解】
设,连接

在四棱柱 中, 四边形 是正方形,
为 中点, 又为 中点,
,
又 平面平面,
平面;
【小问2详解】
在四棱柱 中,平面,
又 平面
,
又在正方形 中,,
且 平面 平面 ,
平面, 又平面,
;
【小问3详解】
令点到平面的距离为,
即 ,
是的中点,
,
即 ,
解得 ,
即点到平面的距离为 .
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把恒成立问题通过参数分离转化为求最值问题；
（2）把任意及存在问题转化为的值域为值域的子集，再根据集合间关系分类列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，对于恒成立
即在恒成立.
①当时，，恒成立.
②当时，此时
则.在恒成.
∴在上的最小值
，当且仅当，即的时候取等
.
【小问2详解】
当时，
当时，
则值域为
，总存在，使
的值域为值域的子集.
①当时，
则
②当时，
则
③当时，，不符合题意
综上，或.
19. 材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
（1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：；
（2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值；
（3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形中三角函数关系得到，证明出结论；
（2）设出向量，转化为点到，，的距离之和最小问题，找到为的费马点，求出最小值；
（3），设，，由得，在中，由余弦定理和勾股定理得到，由基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
因为为直径，所以，
中，，
又，所以，
连接，同理在中，，
又，所以，
连接并延长，交圆于点，连接，则，
在中，，
又，所以，
又，所以，
即；
【小问2详解】
不妨设，，
则，
上式可以看成点到，，的距离之和，
显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点，
在上取点，此时，故，
同理，故，所以，
点即为的费马点，
所以，
则的最小值为；
【小问3详解】
由于为直角三角形，故，
设，，
由得，
在中，由余弦定理得
，
同理，在中，由余弦定理得，
在中，，
因为，
所以，
即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，解得或（舍去），
所以的最小值为