陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学南校区2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市雁塔区西安高新第一中学南校区2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了 已知为正实数，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A 12B. 16C. 20D. 22
2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
3. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A. 事件与事件互斥B.
C. 事件与事件互斥D.
4. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为正实数，，则（ ）
A B. C. D.
6. 甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A 14B. C. D.
7. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9. 已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率是
C. D. 设原点为，则的面积为
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则数列是等差数列
B. 若数列是等差数列且，则当时，取得最大值
C. 若数列是公比不等于的等比数列，则成等比数列
D. 若数列是等差数列，则
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上是增函数
B. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若在上为减函数，则
D 当时，若函数有且只有一个零点，则
三､填空题
12. 已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为__________.
13. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
14. 如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是__________.
四､解答题
15 已知数列中，.
（1）证明：为等差数列；
（2）求的前项和.
16. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点
（1）求C的标准方程；
（2）若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
17. 如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求长；
（3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
高二年级数学月考试题
一､单选题
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解；
【详解】由，可得：，
所以，
又，
故选：D
2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式可和正弦定理求解.
【详解】由于，故为锐角，故,
故
故选：B
3. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）
A. 事件与事件互斥B.
C. 事件与事件互斥D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率.
【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；
选项B，，，B正确；
选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误．
故选：B．
4. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得.
详解】
解法1：如图，设正三棱柱外接球球心为，半径为.
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得：.而为的中点，
所以则
故选:A.
解法2：设正三棱柱外接球的半径为
因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点，
故此时.
故选:A.
5. 已知为正实数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.
【详解】由得：，
构造函数，则，
可知在上递增，
结合，得 ，即
由基本不等式可知：，
当且仅当时等号成立，所以.
故选：C.
6. 甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A. 14B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选：D.
7. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解.
【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，
是以线段为底边的等腰三角形，且，
设（），由椭圆的离心率，
即，解得：，
由点在第一象限，得双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键.
8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围.
【详解】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
当时，， ，，故.
∴在上单调递减，
∴当时， .
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题.
二､多选题
9. 已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率是
C. D. 设原点为，则的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由为中点和抛物线的定义可判断选项A；将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理可判断选项B；利用弦长公式可判断选项C和选项D.
【详解】
设，，，
由向准线作垂线，垂足为，由向准线作垂线，垂足为，连接,，
由题知，直线的斜率一定存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
联立得，
，，，
对于A，为中点，∽，
，，，，
，故A正确；
对于B，，，，
，，，
，，解得，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则数列是等差数列
B. 若数列是等差数列且，则当时，取得最大值
C. 若数列是公比不等于的等比数列，则成等比数列
D. 若数列是等差数列，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用与间的关系求出可得选项A错误；根据条件得，，可得选项B正确；讨论和可得选项C正确；根据等差数列前项和及下标和性质可得选项D正确.
【详解】A.∵，∴当时，，
当时，，不满足上式，
∴，故，
∵，∴数列不是等差数列，故选项A错误.
B.设等差数列的公差为.
∵，∴，故，
∵，∴.
由得，
∴，
∴当时，，当时，，
∴当时，取得最大值，故选项B正确.
C.设等比数列的公比为，
当时，，
∴，
由，可得成等比数列.
当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，∴均不为，
∴成等比数列.
综上得，若数列是公比不等于等比数列，则成等比数列，故选项C正确.
D.∵数列是等差数列，
∴，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上是增函数
B. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若在上为减函数，则
D. 当时，若函数有且只有一个零点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断B；问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围判断C；问题化为有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断D.
【详解】对于A，为增函数，时趋向负无穷，时趋向正无穷，
所以存在使，故上在上为减函数，错；
对于B，由题设，则，且，
所以在处的切线方程为，
切线与轴的交点坐标为，与轴交点坐标为，
所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，对；
对于C，因为函数在上为减函数，
则在上恒成立，即，
令，则，易知时，时，
所以在上减函数，在上为增函数，
所以，错；
对于D，函数有且只有一个零点，
即有唯一解，则，
令且，则，
令，显然在上为增函数，，
则，使得，易知时，时，
则在为减函数，在为增函数，则，
当时，，
所以有且只有一个解时，，即，对.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：对于C、D，化为在上恒成立、有唯一解为关键.
三､填空题
12. 已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出当位于第一象限且与圆相切时的大小进而即可得的最小值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为（如图）.

由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小，
此时，即，所以，
故的最小值为.
故答案为：.
13. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可.
【详解】因为，
所以，
当时，，当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
14. 如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定点的轨迹，进而求出的范围.
【详解】在棱长为4的正方体中，分别取棱中点，连接，
由点分别是棱的中点，得，
又平面，平面，则平面，
又，则四边形为平行四边形，
于是，又平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又是侧面内一点，且平面，则点的轨迹是线段，
在中，，同理，
即为等腰三角形，当为中点时，最短，为，
当位于、处时，最长，为，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：
四､解答题
15. 已知数列中，.
（1）证明：为等差数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义，通过对已知条件进行变形，证明相邻两项的差为常数来证明数列为等差数列；（2）先根据（1）的结论求出的通项公式，再利用错位相减法求出的前项和.
【小问1详解】
已知，等式两边同时乘以，得到：
，即.
根据等差数列的定义，所以数列是以为公差的等差数列.
【小问2详解】
已知，则.
由（1）可知是等差数列，且公差， ，即，解得，所以.
可得：，则.
（∗）
两边同时乘以得：
（∗∗）
（∗）-（∗∗）得：

所以.
16. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点
（1）求C的标准方程；
（2）若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）直线恒过定点，坐标为
【解析】
【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可；
（2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解.
【小问1详解】
由题意知，
解得，
所以的标准方程为；
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，则，
且，
所以直线的方程为，
令，可得，即，同理，
因为原点为的中点，所以，
即，
所以.所以，
所以或，
若，则直线方程为，
即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点.
17. 如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求长；
（3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）相交，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证平面，即可得证线线垂直；
（2）由所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量法求线面角求得参数值；
（3）用反证法证明判断与平面相交．
【小问1详解】
，平面，
平面，
平面
【小问2详解】
是等腰直角三角形且，则到距离为2，
，所以，可由所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得
，
设面的法向量，
令，
直线与平面所成角为，
，
解得：，或（舍），所以，的长为；
【小问3详解】
相交
反证法，因为点平面，且点交线，所以交线平面.
假设平面，且平面，平面平面，故.同理，因此，由图1知，与BC相交，矛盾.
因此与平面相交.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求导，构造，再次求导确定单调性即可；
（2）直接求导后构造，再次求导后构造，分和两种情况进行讨论即可.
【小问1详解】
的定义域是，
a＝0时，，
，令，，
故在递增，而，
故时，，递减，
时，，递增；
【小问2详解】
，令，
令，，，，，，即在上单调递增，
，当即时，，即，故在上单调递增，，故，
即，在上单调递增，又，故在上恒成立；
当即时，，存在使，当时，，当时，，即时，，
时，，故在上单调递减，上单调递增，又，故当时，即，在上单调递减，
又，故当时，不合题意.
综上：.
【点睛】本题关键点在于求导后构造函数再次求导，再构造函数后求导，最后对最小值进行分类讨论.
19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）解指数方程即可；
（2）说明函数的奇偶性和单调性，再解不等式；
（3）分别求出的,最值，构造不等式即可求解．
【小问1详解】
即，，
设得，
∴解得或（舍去），
∴，∴．
【小问2详解】
∵，∴为偶函数，
任取，，
∵，∴，，
∴，
∴即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
即，
∴即，解得，
∴不等式的集体为．
【小问3详解】
，
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．