2024-2025学年陕西省西安市高新一中南校区高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市高新一中南校区高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a9=6−a3，则S11=( )
A. 12B. 16C. 20D. 22
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=35,B=2A,b=8，则a=( )
A. 52B. 5C. 103D. 203
3.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则( )
A. 事件A与事件B互斥B. P(AB)=P(A)P(B)
C. 事件A与事件B∪C互斥D. P(B∩C)=0.5
4.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为 3，高为2 3，则该正三棱柱的外接球的体积为( )
A. 32π3B. 4 3πC. 6πD. 8π3
5.已知x，y为正实数，lnx+lny=1y−x，则( )
A. x>yB. x1D. x+yb>0与双曲线C2的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2.若椭圆C1的离心率e∈[38,49]，则双曲线C2的离心率取值范围是( )
A. [54,53]B. [32,+∞)C. (1,4]D. [32,4]
8.已知aeax≥lnx对∀x≥3恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [ln33,+∞)B. [1e,+∞)C. (−∞,ln33]D. (−∞,1e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点F是抛物线C：x2=8y的焦点，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为AD中点，则下面说法正确的是( )
A. AF=2FBB. 直线l的斜率是k=± 24
C. |AB|=9D. 设原点为O，则△OAB的面积为263
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的有( )
A. 若Sn=(n+1)2，则数列{an}是等差数列
B. 若数列{an}是等差数列且a1>0，S8=S18，则当n=13时，Sn取得最大值
C. 若数列{an}是公比不等于−1的等比数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列
D. 若数列{an}是等差数列，则S2n+1=(2n+1)an+1
11.函数f(x)=2xlnx+ax2−x，则下列说法正确的是( )
A. 当a>0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数
B. 当a=2时，f(x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为85
C. f(x)在(0,+∞)上为减函数，则a≤−e−32
D. 当a0,b>0)与椭圆x220+y24=1的焦点相同，且过点P(3,−1)．
(1)求C的标准方程；
(2)若点M，N是y轴上关于原点对称的两点，直线PM与C交于另外一点A，直线PN与C交于另外一点B，试判断直线AB是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
17.(本小题12分)
如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2))．

(1)求证：PB⊥DE；
(2)若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长；
(3)设平面PDE∩平面PBC=l，试判断l与平面DEBC的位置关系，并说明理由．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x−2ln(x+1)+12ax2−1．
(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数sinℎ(x)=ex−e−x2，双曲余弦函数csℎ(x)=ex+e−x2，e是自然对数的底数.(e=2.71828…)
(1)解方程sinℎ(x)⋅csℎ(x)=1；
(2)求不等式csℎ(2x−1)−csℎ(x−2)0，
且1−k2≠0,x1+x2=2km1−k2,x1x2=−m2−81−k2，
所以直线PA的方程为y+1=y1+1x1−3(x−3)，
令x=0，可得y=−1−3y1+3x1−3，
即M(0,−1−3y1+3x1−3)，
同理yN=−1−3y2+3x2−3，
因为原点O为MN的中点，所以(−1−3y1+3x1−3)+(−1−3y2+3x2−3)=0，
即−1−3(kx1+m)+3x1−3−1−3(kx2+m)+3x2−3=0，
所以(6k+2)x1x2−(3+9k−3m)(x1+x2)−18m=0，
所以(m+8)(m+3k+1)=0，
所以m=−8或m+3k+1=0，
若m+3k+1=0，则直线方程为y=kx−3k−1，
即y+1=k(x−3)，
此时直线AB过点P(3,−1)，不合题意；
若m=−8时，则直线方程为y=kx−8，恒过定点(0,−8)．
17.解：(1)证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，PE，BE⊂平面PEB，
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；
(2)△ABC是等腰直角三角形且AB=4，则C到AB的距离为2，
∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴可由DE，BE，PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
∴设PE=a(00时，问题转化为a≥4ln(x+1)−2e2x+2x2在x>0恒成立，
令g(x)=4ln(x+1)−2e2x+2x2，(x>0)，
则g′(x)=4[xx+1−2ln(x+1)+e2x(1−x)−1]x3，
显然4x3>0，令ℎ(x)=xx+1−2ln(x+1)+e2x(1−x)−1，(x>0)，
则ℎ′(x)=−2x+1(x+1)2−xexx2>0，所以ex1−ex2>0，1−1ex1+x2>0，
所以csℎ(x1)−csℎ(x2)=12(ex1−ex2)⋅(1−1ex1+x2)>0，
所以csℎ(x1)>csℎ(x2)，
即csℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
又csℎ(x)是偶函数，
所以csℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，
则csℎ(2x−1)−csℎ(x−2)