陕西省西安市高新一中实验中学2025届高三下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市高新一中实验中学2025届高三下学期第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x,y2x−y=0，B=x,yy=x2−3，则A∩B的真子集有( )个
A. 3B. 4C. 7D. 8
2.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )
A. 510种B. 105种C. 50种D. 3 024种
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )．
A. 12 2πB. 12πC. 8 2πD. 10π
4.已知α∈(0,π)，且3cs2α−8csα=5，则sinα=( )
A. 53B. 23C. 13D. 59
5.已知两条直线l1:ax+4y−1=0，l2:x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6=12，则S7=( )
A. 48B. 42C. 24D. 21
7.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上、下焦点分别为F1，F2，直线l经过F1且与E交于B，C两点，若l垂直平分线段AF2，且△ABC的周长为8 3，则E的方程是( )
A. y212+x29=1B. y212+x24=1C. y26+x24=1D. y24+x23=1
8.已知函数fx=ax−x2(a>1)有且只有一个零点，则a的取值范围为( )
A. 1,e2eB. e1e,e2eC. e1e,+∞D. e2e,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为( )
A. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n或m//n
C. 若m//α，α//β，则m//β或m⊂β D. 若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α
10.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
11.如图，有一列曲线P0，P1，P2，⋯，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1(k=0,1,2,3,⋯)是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记Sk为曲线Pk所围成图形的面积，则( )
A. P3的边数为128B. S2=4027
C. Pn的边数为3×4nD. Sn=85−35⋅(49)n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24，a3a6=128，则公比q的值是 ．
13.若过点(2,t)可以作曲线y=lnx的两条切线，则实数t的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)=ex−e−x−2x+1，则不等式f(2x−3)+f(x)>2的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=lnx−x2+x．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)求f(x)在区间[12,e]上的最大值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1，求四棱锥P−ABCD的体积．
17.(本小题15分)
已知等差数列{an}满足a6=6+a3，且a3−1是a2−1，a4的等比中项．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=1anan+1(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D.试判断|DF2||AB|是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=exln(1+x)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.A
5.A
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.ABD
11.BCD
12.2
13.ln2,+∞
14.(1,+∞)
15.解：( I)因为f( x)= lnx− x2+ x，其中x>0，
所以f′(x)=1x−2x+1=−(2x+1)(x−1)x，
令f′(x)>0，解得：0g(t)−g(0)>g(0)−g(0)=0，
因此，m(s)在(0,+∞)上递增，
故m(s)>m(0)=f(0+t)−f(0)−ft=−f(0)=0，
因此，对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．