黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题含解析

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这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简，由集合并集运算即可求解；
【详解】，
所以，
故选：C
2. 若向量，则“ ”是“向量的夹角为锐角”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的取值范围，再判断属于哪种关系.
【详解】向量的夹角为锐角，则，且向量不共线，
当向量共线时，，
则，
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若，则成立，反之不成立，
故“ ”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】因为，，其中，的夹角为，
所以在上的投影向量为，
故选：D
4. 如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则用向量表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的加减法结合图形计算得出线性表示求解,
【详解】在中，点 D 是边 BC 的中点，所以，
所以，化简得，
则
故选：A
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5. 已知角的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合、若角终边上一点 P 的坐标为
，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及特殊角的三角函数值，同角三角函数的商数关系计算即可.
【详解】显然 P 在第二象限，根据三角函数的定义易知，
所以 .
故选：C
6. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得，再结合诱导公式和倍角公式即可求解.
【详解】由得，
所以．
故选：A．
7. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值
约为 0.618，这一比值也可以表示为 a＝2cs72°，则（）
A 2 B. 1 C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，即可求解．
【详解】解：∵a＝2cs72°，
∴a2＝4cs272°，
∴ 2sin144°＝2sin36°，
∴则．
故选：C．
8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若
，，，则的最小值（）
A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后
应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为 9.
故选：C
二、多选题
9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（）
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A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；
D.由向量的夹角公式求解判断.
【详解】A.若，则，解得，故正确；
B.若，则，解得，故正确；
C.若，或，故错误；
D.若，则，解得，故正确，
故选：ABD
10. 有下列说法，其中错误的说法为（）．
A. 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
B. 若，则是三角形的垂心
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若 ∥ ，则存在唯一实数使得
【答案】AD
【解析】
【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】对于选项 A，当时，与不一定共线，故 A 错误；
对于选项 B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以 B 正确；
对于选项 C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故 C 正确；
对于选项 D，当，时，显然有 ∥ ，但此时不存在，故 D 错误.
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故选：AD
【点睛】本题考查与向量有关命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
11. 如图是某地一天从 6 点到 14 点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，
其中： .则下列说法正确的有（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数解析式为
C. 函数在区间上单调递增
D
【答案】BC
【解析】
【分析】根据图象计算最小正周期可得选项 A 错误；根据函数图象逐步计算的值可得选项 B 正
确；利用函数的周期性可知函数在区间上的单调性与函数在区间上的单调性相同，结合
图象可得选项 C 正确；利用函数中心对称的性质可得选项 D 错误.
【详解】A.由函数图象得，函数最小正周期为，A 错误.
B. 由题意得，，解得 .
设函数的最小正周期为，则，故，
由得，，
∴ ，
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由得，，故，选项 B 正确.
C.∵ ，
∴函数在区间上的单调性与函数在区间上的单调性相同，
由图象可得，函数在区间上单调递增，C 正确.
D. 等价于，
由图可知，函数的图象不关于点中心对称，D 错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题)
三、填空题
12. 已知向量，，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由得即可求解.
【详解】由 .
故答案为： .
13. 已知，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式和辅助角公式求解即可.
【详解】因为，
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所以，
所以，解得，
故答案为：
14. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值
范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用函数在区间上存在最值，以及函数
在上单调分别求出的取值范围，取交集可得的取值范围.
【详解】因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，则，
所以，，其中，解得，
所以，，解得，又因为，则 .
当时，；当时，；当时， .
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又因为，因此，实数的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
15. 已知，，与的夹角 .
（1）求；
（2）若与共线，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可；
（2）根据共线向量定理列等式求解即可.
【小问 1 详解】
，
【小问 2 详解】
与共线，
∴存在唯一实数，使得
即，
又与不共线，∴ ，
解得
16. 已知且 .
（1）求的值；
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（2）求的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将化为求解；
（2）将化为求解.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
，
又，所以 .
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1），对称轴方程为，
（2），
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的周期性和对称性求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解；
【小问 1 详解】
解：由函数知：
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的最小正周期为，
令，，得，．
故的对称轴方程为，．
【小问 2 详解】
令，，
得，．
故的单调递增区间为，．
18. 设函数 .
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值
域.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等变换将化简为正弦型函数后结合正弦型函数的性质即可得；
（2）由平移可得解析式，结合函数区间与正弦型函数的性质计算即可得.
【小问 1 详解】
，
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则，
令，解得，
即的最小正周期为，对称中心为；
【小问 2 详解】
函数的图象向左平移，
即可得，
则当时，，
故，
即，
即函数在区间上的值域为 .
19. 已知函数的图像如图．
（1）根据图像，求的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线 C，把 C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标
变为原来的 2 倍得到的图象，且关于 x 的方程在上有解，求 m 的取值范围．
【答案】（1），
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可求得周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数
的对称性结合整体思想即可得函数的对称中心；
（2）先根据平移变换及周期变换求得函数的解析式，方程在上有解，分离参数
可得，求出函数在上值域即可.
【小问 1 详解】
根据函数的图象，可得，
，所以，，
由，
得，
又，所以，
故，
令，得，，
所以对称中心为，；
【小问 2 详解】
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线 C：的图象，
把 C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到的图象，
由在上有解，即在上有解，
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因为，，所以，
所以 m 的取值范围为．
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