黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 含解析

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知函数 ，则， 下列求导的运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、单选题
1. 数列 1， ， ， ，…的一个通项公式为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把数列化为 ，根据各项特点写出它的一个通项公式.
【 详 解 】 数 列 …可 以 化 为 ， 所 以 该 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为
.
故选：A
【点睛】本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目.
2. 以点 为圆心，且与 x 轴相切的圆的标准方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由给定切线求出圆的半径即可求出圆的标准方程.
【详解】由圆与 轴相切，得该圆半径为点 到 轴的距离 5，
所以所求圆的标准方程为 .
故选：B
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3. 已知函数 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入 计算可得结果.
【详解】由 可得 ，
令 可得 ，解得 .
故选：C
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的公差为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前 和公式联立方程组求解即可得出答案.
【详解】设等差数列 的首项和公差分别为 和 ,则由题意可得 ,联立
解得 .
故选:B.
【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前 和公式的运算应用,属于基础题.
5. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（ ）
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通
项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
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由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考查了数
学运算能力.
6. 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 ，则 =（ ）
A. 11 B. 31 C. 61 D. 121
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用公式 ，判断数列 是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令 ，得 ，得 ，
由 ，
当 时， ，两式相减得，
，即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
故选：D.
7. 某工厂计划今年 1 月份生产某产品 100 件，以后每个月都比上个月多生产 件，为保证今年该产
品的总产量超过 1800 件，则 k 的最小值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
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【解析】
【分析】每月的产量构成以今年 1 月份的产量 100 件为首项， 为公差的等差数列，利用等差数列的前 项
和公式即可求解.
【详解】因为某工厂计划今年 1 月份生产某产品 100 件，以后每个月都比上个月多生产 件，
所以每月的产量构成以今年 1 月份的产量 100 件为首项， 为公差的等差数列，
由今年该产品的总产量超过 1800 件，所以 ，
解得 ，又 ，所以 k 的最小值为 10.
故选：A.
8. 若 在 上是单调递增的，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调递增得出导函数大于等于 0，再参数分离结合余弦函数值域求解即可.
【详解】因为 在 上是单调递增的，
所以 上 恒成立，所以 上 ，
因为 ，所以 ， ，
则 的取值范围是 .
故选：C.
二、多选题
9. 下列求导的运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数的运算法则逐一求解，即得答案.
【详解】对于 A， ，选项 A 正确；
对于 B， ，选项 B 中缺少系数 2，选项 B 错误；
对于 C， ，选项 C 正确；
对于 D， 为常数，常数的导数为 0，选项 D 错误.
故选：AC.
10. 已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 C 的右支相交于 M，N 两点，
则（ ）
A. 直线 l： 与 C 恰有两个公共点
B. 若 ，则 的面积为
C. 双曲线 E： 的焦点在以 为直径的圆上
D. 若 ，则 的周长为 28
【答案】BC
【解析】
【分析】A 选项，求出渐近线方程，由直线 l 与渐近线平行得到 A 正确；B 选项，设 ，
，由双曲线定义和余弦定理得到 ，由三角形面积公式得到 B 正确；C 选项，求出以 为直
径 的 圆 的 方 程 ， 焦 点 坐 标 在 圆 上 ， C 正 确 ； D 选 项 ， 由 双 曲 线 定 义 和 得 到
，求出三角形周长.
【详解】对于 A，双曲线 C： 的一条渐近线的方程为 ，
故直线 l： 与该渐近线平行，故直线 l 与 C 恰有一个公共点，A 错误；
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对于 B，设 ， ，由 可知点 M 在 C 的右支上，
由双曲线定义得 ，又 ，故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，所以 的面积为 ，B 正确；
对于 C，由已知得 ， ，以 为直径的圆的方程为 ，
E： 的焦点为 ，很显然， 在圆 上，C 正确；
对于 D，由双曲线定义知 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 的周长为 ，D 错误．
故选：BC．
11. 已知正项数列 满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的值有 3 种情况
C. 若数列 满足 ，则
D. 若 为奇数，则 （ ）
【答案】BD
【解析】
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【分析】根据给定条件，求出前几项探讨周期性计算判断 A；按 的奇偶性求出 的值判断 B；由 的奇
偶性，结合周期求出 判断 C；借助反证法的思想推理判断 D.
【详解】对于 A， ，则该数列为 ，
则 ， ，而 ，因此 ，A 错误；
对于 B， ，若 为偶数，则 ，于是 或 ；
若 为奇数，则 ，于是 ，因此 的值会出现 3 种情况，B 正确；
对于 C，由数列 满足 ，得数列 是周期为 2 的数列，有
当 为偶数时， ，则 ，解得 ，或 ，无正数解；
当 为奇数时， ，则 ，解得 ，因此 或 都满足，C 错误；
对于 D，若 为奇数，则 为偶数，与 为奇数矛盾，因此 为偶数，
即 ，则 ，D 正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：由数列递推公式探求数列的相关性质的问题，关键是正确理解给出的关系式，并进行
合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
第Ⅱ卷
三、填空题
12. 在等比数列 中， 是方程 的根，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列中等比中项的性质，等比数列通项公式即可求解.
【详解】等比数列 中， 是方程 的根，
则 ， ，
则 ，
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由等比数列性质可知
，所以 ，
而 ，所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的应用，注意项的符号判断，属于基础题.
13. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，若 的周长
为 10，则 的离心率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知可得 ，再由 的周长为 10，可得 ，求出 ，从而可求出离心率.
【详解】由椭圆方程 可得 ，得 ，
因为 是 上一点，所以 ，
因为 的周长为 10，
所以 ，得 ，
所以 的离心率为 .
故答案 ：
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14. 已知定义在 R 上的奇函数 ，设其导函数为 ，当 时，恒有 ，令
，则满足 的实数 的取值集合是__________．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 构 造 函 数 ， 则 ， 由 于 ， 因 此
化 为 ， 即 ， 也 即 ， 故 当
时，函数 是单调递减函数；又 ，故函数
是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数 是 上的单调递增函数，故
不等式 可化为 ，应填答案 ．
点睛：解答本题的关键是构造函数 ，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用
定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式 进行等价转化为
，从而使得 问题获解．
四、解答题
15. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的最值.
【答案】（1） 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ;
（2）最大值为 ,最小值为 0.
【解析】
【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可.
（2）利用导数求解函数在闭区间上的最值即可.
【小问 1 详解】
对 求导可得： ，
令 则 ,解得 或 ；
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时，则 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，则 ,即 ,
所以 在 上单调递减；
因此， 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
小问 2 详解】
由（1）可知 和 为函数 的极值点;
,
,
,
,
所以 在 上的最大值为 ,最小值为 0.
16. 等比数列 的各项均为正数，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】解：（1）设数列 的公比为 ，
则 ，由
得： ，所以 .
由 ，得到
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所以数列 的通项公式为 .
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以 .
17. 已知抛物线 C： 上一点 M 到其焦点的距离为 3，到 y 轴的距离为 2．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若不过原点 O 的直线 l： 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且 ，求实数 m 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）点 M 到准线的距离为 3，从而得到方程，求出 ，得到抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出 ，根据
向量垂直得到方程，求出 .
【小问 1 详解】
由题意知，点 M 到准线的距离为 3，
所以 ，解得 ．
故 C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ， ，由 得 ，
所以 ， ，
， ．
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因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 0．
又直线 l 不过原点 O，所以 ．
又 满足要求，所以 ．
18. 已知数列 中， ， .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ， 为数列 的前 n 项和，证明： .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列 定义可证明结论.
（2）根据（1）可得数列 的通项公式，由此可得结果.
（3）利用裂项相消法可求得 ，分析性质可证明结论.
【小问 1 详解】
∵ ，∴ ，即 ，
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∴ 是以 为首项，2 为公差的等差数列.
【小问 2 详解】
由（1）得， ，
∴ .
【小问 3 详解】
由（2）得， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，且 随着 的增大而减小，
∴ ，当 时， ，
∴ .
19. 已知函数 ，
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，若函数 的图象恒在直线 的图象的上方，求实数 的最大
值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）求出函数在 处的导数，利用点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出 的导数，讨论参数 的范围，根据 的符号，写出单调区间；
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（3）将函数图象的位置关系转化为函数等式恒成立问题，根据(2)中的单调区间，求参数范围即可.
【小问 1 详解】
已知函数 ，则 ，
将 代入 可得
将 代入 可得 ，
所以切点为 ,切线斜率 ,
则切线方程为 ，整理得 ；
【小问 2 详解】
已知 ，其定义域为 . ，
令 ， ，
当 ，即 时， 恒成立(因为二次函数 开口向上)，
则 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 ，即 时，由 ，根据求根公式可得 ， ；
则在 和 上 , 单调递增；
在 上， , , 单调递减；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 的 单 调 递 增 区 间 为 和 ,
单 调 递 减 区 间 为 .
【小问 3 详解】
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由题意知 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ，则 恒成立，
对 进行求导， ，
令 ，对其求导得 ，
所以 在 上单调递增；
又 ，所以当 时， ，即 ,
所以 在 上单调递增，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ,
即实数 的最大值为 2.
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