2024-2025学年度第二学期南京市建邺区八年级期末数学模拟试卷解答

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
1（2分）．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2（2分）．某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，
如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ）

A．240B．120C．80D．40
【答案】D
【详解】试题分析：调查的总人数是：80÷40%=200（人），则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．故选D．
3（2分）．如果把分式中的、都扩大为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．变为原来的3倍B．变为原来的
C．不变D．变为原来的6倍
【答案】C
【分析】把式子中的x、y都扩大为原来的3倍代入原式，然后根据分式的基本性质转化为已知等式．
【详解】解：将x，y都扩大为原来的3倍代入得：
，
∴分式的值不变．
故选：C．
4（2分）．与最接近的整数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
【详解】解： ，
，
即与最接近的整数是3，
故选：C．
如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点
若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案．
【详解】解：由对折可得：
矩形，




BC=8

由对折得：
故选C．
6.（2分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．
若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值．
【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，
∵A，B为函数与x轴、y轴的交点．
∴当时，；当时，，
∴，，
∴，；
∵是正方形，
∴，
∴，
∵
∴
在和中
∴，
同理可证得：，
∴
∴，，
∴，，
把，代入中，
解得：，
把代入中，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）
7．（2分）当x 时，在实数范围内有意义．
【答案】/
【分析】根据二次函数有意义的条件即可进行解答．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：．
8.（2分）某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．
该车间平均每人每日加工螺杆数为 个．

【答案】20
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式进行解答即可
【详解】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为：
（个），
故答案为：20．
9.（2分）计算﹣= ．
【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式=
故答案为：．
10.（2分）如图，矩形的顶点A在x轴上，点B的坐标为．固定边，向左“推”矩形，
使点B落在y轴的点的位置，则点C的对应点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；由矩形的性质得，由题意得，四边形是平行四边形，得，由勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，
由题意得：，四边形是平行四边形，
∴，，
∴点C的对应点的坐标为．
故答案为：．
11.（2分）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
12.（2分）关于的方程有增根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
先将分式方程化为整式方程求解得出，根据增根的定义得出，即可解答．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
∵原分式方程有增根，
∴，则，
∴，
解得：，
故答案为：1．
13.（2分）计算的结果为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘法逆运算法则变形为，再利用平方差公式计算括号内的式子，最后利用二次根式乘法计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14.（2分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，
连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝ ．

【答案】6．
【分析】证明△CDA≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AD=DF，CF=AC，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：在△CDA和△CDF中，
∴△CDA≌△CDF，
∴AD=DF，CF=AC=15，
∴BF=BC-CF=12，
∵AD=DF，AE=EB，
.
故答案为6．
15.（2分）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．

【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
16.（2分）如图，在正方形中，，E，F分别为边，的中点，
连接，，点N，M分别为，的中点，连接．则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，延长交于，连接，由正方形推出，，，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到．
【详解】解：连接，延长交于，连接，
四边形是正方形，，
，，，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
为的中点，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.）
17．（7分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简，再合并同类项即可；
（2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18（7分）．解方程
【答案】x=-1．
【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，
可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1
解这个方程，得x= -1
检验：x= -1时，x-2≠0
∴原方程的解是x= -1
19（7分）.化简，再求值:，其中.
【答案】
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，

当时,原式
20（8分）．如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．
线段AB的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以AB为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以AB为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以AB为对角线，且面积为7的平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图即可；
（2）以AB为边，作底边为4的平行四边形即可；
（3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图即可．
【解答】（1）解：如图1所示，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2所示，平行四边形ABEF即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3所示，菱形AMBN即为所求（答案不唯一）．
四边形AMBN的面积＝3×5﹣×1×4×2﹣×1×2×2﹣1×1×2＝7，
故菱形AMBN即为所求．
21.（8分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，
学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查
（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了_____名同学；
（2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______；
（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；
（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
【答案】（1）200；（2）40，60；（3）72；（4）学校购买其他类读物750册比较合理．
【分析】（1）用文学的人数÷文学的百分比可得调查人数；
（2）科普的百分比×抽样人数得科普人数，再用抽样人数减文学、科普和其他人数得艺术人数；
（3）先求出艺术的百分比，再根据比例求得圆心角；
（4）用5000乘其他读物的比例求得.
【详解】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，
故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人，
故答案为：200；
（2）根据科普类所占百分比为：30%，
则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，
m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人，
故m＝40，n＝60；
故答案为：40，60；
（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°，
故答案为：72；
（4）由题意，得5000×＝750（册）．
答：学校购买其他类读物750册比较合理．
22（8分）．已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．

求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，∠DAF＝∠BCE，根据全等三角形的判定定理SAS即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，∠AFD＝∠CEB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴EB∥DF．
23（8分）．新建某学校的初中部即将投入使用，为了改善教室空气环境，
该校八年级1班班委会计划到朝阳花卉基地购买绿植，
已知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是元．班委会决定用元购买绿萝，
用元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍．
分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格；
该校八年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计盆，
其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，则八年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？
最少费用是多少元？
【答案】(1)每盆绿萝4元，每盆吊兰元
(2)购买吊兰盆，绿萝盆时，总费用最少，为元；
【分析】（1）设每盆绿萝元，则每盆吊兰元，根据数量关系列方程求解即可得到答案；
（2）设购买吊兰a盆，总费用为y元，根据数量关系列不等式求出取值范围，列出与的函数关系式，结合函数性质求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每盆绿萝元，则每盆吊兰元，
根据题意得：
解之得：
经检验，是方程的解且符合题意．
∴，
答：每盆绿萝4元，每盆吊兰元；
（2）解：设购买吊兰a盆，总费用为y元，由题意得，
，解得：，
∴，
∵，
∴y随a的增大而增大
∴当时，y取得最小值，最小值为，
答：购买吊兰盆，绿萝盆时，总费用最少，为元．
24.（8分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；
从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，
是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，
有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．
继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法．
示例：将分式分离常数，则．
示例中，________；
参考示例方法，将分式分离常数；
借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数的图像和性质进行探索，
下列结论正确的是________（填写所有正确的序号）；
①图像与坐标轴没有交点；
②在第一象限内，y随着x的增大而减小；
③图像关于中心对称；
④图像关于直线成轴对称；
如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．
直接写出函数图像上所有“整数点”的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)②③④
(4)，，，
【分析】（1）根据示例计算即可得出答案；
（2）根据示例计算即可得出答案；
（3）根据函数的图象和性质分别求解即可．
【详解】（1）解：，
示例中，；
故答案为：1；
（2）解：依题意，；
（3）解：，
①时，，
图象与轴交于点，故①错误；
②时，，且随的增大而减小，
在第一象限内，随着的增大而减小，故②正确；
③函数关于原点中心对称，
而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，
图象关于中心对称，故③正确；
④函数关于直线对称，
而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，
图象关于直线，即成轴对称，故④正确．
故答案为：②③④；
（4）解：，
当或或3或，即或或2或时，
或或3或1，
函数图象上所有“整数点”的坐标为，，，．
25（9分）.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，
与轴交于点，与轴交于点．

(1)求的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键．
（1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值；
（2）观察函数图象，即可得出的解集；
（3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积．
【详解】（1）解：将代入中，
得：
解得：

将代入，
得：
解得：．
（2）解：根据图象可得，的解集为：或．
（3）解：将、代入
得：
解得：
∴直线的解析式为：
将代入得
∴，即，
连接，
∴．
26（9分）．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，
顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，点E为边OA上的一个动点．
（1）求线段CD所在直线的解析式；
（2）当△CDE的周长最小时，求此时点E的坐标；
（3）当点E为OA中点时，坐标平面内，是否存在点F，使以D、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线 CD：；（2）；（3）存在，或或
【分析】（1）先求解的坐标，再利用中点坐标公式求解的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）如图，确定关于轴的对称点 连接交轴于 则 此时周长最小，再利用待定系数法求解的解析式即可得到答案；
（3）先求解的坐标，再分三种情况讨论，画出图形，利用平移的性质与平行四边形的性质可得答案.
【详解】解：（1） 矩形OACB， OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，

设直线为

解得：
直线为
（2）如图，确定关于轴的对称点
连接交轴于 则
此时周长最小，
设为，
解得：
所以为
令 则 则
（3）存在，理由如下：
为的中点，


当为对角线时，把向左平移个单位，再向下平移个单位得
当为对角线时，把向右平移个单位，再向下平移个单位得
当为对角线时，把向左平移个单位，再向上平移个单位得
综上：或或