四川省泸州高中初中教育联合校2024-2025学年九年级下学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份四川省泸州高中初中教育联合校2024-2025学年九年级下学期第二次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A 、表示的是4的算术平方根，是正数，所以，A项运算错误，不符合题意；
B、，B项运算正确，符合题意；
C、先算乘方，再取相反数，结果为，C项运算错误，不符合题意；
D 、，D项运算错误，不符合题意．
故选：B．
2. 我国“天问一号”探测器在火星成功着陆，火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离5500万千米，将数字5500万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】万，
故选：B．
3. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选：B．
4. 如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5. 下列各式运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 在某校举行的跳绳比赛中，第一小组位同学一分钟跳绳的次数如下：，，，，，，，，则这组数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将数据从小到大排列为：，，，，，，，，
中位数为，
故选：C．
7. 的整数部分为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】，且，
的整数部分为4，
故选：C．
8. 若关于x的方程＝1无解，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. 0或2D. 1或2
【答案】D
【解析】去分母，得：mx﹣4＝x﹣2，
移项，合并同类项，得：（m﹣1）x＝2．
当m＝1时，此整式方程无解；
当m≠1时，
∵x＝2是原方程的增根，
∴2（m﹣1）＝2，
解得：m＝2．
综上，m的值为：1或2．
故选D．
9. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（ ）
A. 7B. 11C. 12D. 16
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为16，
故选：D．
10. 如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】连接，

∵，
，
，
，
，
，
点为的中点
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
故选：C．
11. 已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设直线的解析式为，
将，代入上式得，解得：，
直线的解析式为，
，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，
，
抛物线与线段有两个不相同交点，
时，，且抛物线与直线有交点，
，
，
令，整理得：，
，
，
，
故选：C．
12. 如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】B
【解析】在矩形中，，，，
如图，连接，
点分别是边上的两动点，且，点为的中点，
，
点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），
如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，
，
，
∴此时有最小值，最小值为，
，，
，，
的最小值为9，故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13. 已知，则点在第______象限．
【答案】四
【解析】∵，，，
∴，，
∴，，即，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
14. 在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球．从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为_____________．
【答案】
【解析】9个只有颜色不同的球，其中4个黑球、2个白球和3个绿球．
从袋中任意摸出一个球，有9种可能的情况出现，不是绿球的情况占6种，
则不是绿球的概率为．
15. 若关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，
∴，
解得：，
解分式方程得：，
∵关于的分式方程的解为正整数，
∴且为整数，，
∴的值为，，，
∵，
∴或5，
∴符合条件的整数的值的和为，
故答案为：．
16. 如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是_____．

【答案】m≤1或m≥2
【解析】如图，连接MN，

由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上，
作MN的垂直平分线QP，
∵M，N分别是FO，FH的中点，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），
∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），
若圆心在线段MN上方时，
设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可，
∴m≥2，
当圆心在线段MN下方时，
∵OF＝OH，∠FOH＝90°
∴∠FHO＝45°，
∵MN∥OH，
∴∠FNM＝∠FHO＝45°，
作NG⊥FH交直线QP于G，QG＝NQ＝1，
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）的直线QP上时也符合要求；
∴m≤1，
综上所述，m≤1或m≥2，
故答案为m≤1或m≥2．
三、解答题（共3小题，每题6分，共18分）
17.计算：．
解：
．
18. 如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
证明：四边形是平行四边形，，，
，，
，
四边形是平行四边形，．
19. 化简：.
解：
．
四、解答题（共2小题，每题7分，共14分）
20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查的学生共有______人，______，并补全条形统计图；
（2）估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人；
（3）九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率．
解：（1）本次抽取调查的学生共有（人），
喜欢“绘画”兴趣班的百分比为，即，
喜欢“书法”兴趣班的人数为（人），
喜欢“乐器”兴趣班的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为（人）；
（3）把王红和李明分别记为、，其他位同学分别记为、、，
画树状图如图：
，
共有种等可能出现的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有种，
∴王红和李明至少有一人参与演奏的概率为．
21. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意，得，解得，
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元．
（2）设第三次购进甲品牌耳机m个，则购进乙品牌耳机个，
根据题意，得，解得，∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
五、解答题（共2小题，每题8分，共16分）
22. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
解：（1）作PD∥QB，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中，，即米；
（2）作于点H，于点M，如图，
则四边形AMQH是矩形，设，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，
∴PH=9－a，
∵，
∴，
∴AH=QM=，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵，
∴，解得：，
∴AM=2，BM=，
∴米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为米．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．
解：（1）将代入得：，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数解析式可得，∴，
将，代入反比例函数解析式可得，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）由图象可得：不等式的解集为或；
（3）∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
设点，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为对角线时，与互相平分，
∴，∴，∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，解得：，∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，解得：，∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
六、解答题（共2小题，每题12分，共24分）
24. 如图，等腰中，，为的直径，交于点D，弦于点E；
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，交于点G，连接交直径于点H，求证：；
（3）如图3，过点H作于点N，若，，求的长．
（1）证明：连接，
∵是直径，∴，
又∵，∴，
又∵，
∴，
∴，∴；
（2）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图,连接.
设则
∵，
∴，
，
，
，
，
∵AB是直径,
,
，
，即，
解得或 (舍去)，
，，
，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
25. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，
则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600