安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期期中普通高中联考.数学试卷（解析版）

这是一份安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期期中普通高中联考.数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设有，
故选：B .
2. 已知集合，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】集合，由，
得，解得，此时集合中与矛盾；
或，解得，此时，符合题意，
所以.
故选：D
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，解得，
由，解得或，“”成立，则“或”成立，
而“或”成立，“不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的定义域为，即，
所以的定义域为，
又中，
综上：的定义域为，
故选：D．
5. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】要使在上是减函数，需满足：，
解得，则的取值范围为.
故选：A.
6. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设幂函数，由，得，解得，，
函数在定义域上单调递增，
不等式，解得，所以原不等式的解集为.
故选：D
7. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，所以，
又，，
则，
所以，
故选：
8. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】由题知，因为a，b为正实数，所以由，
得，即，所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
所以，整理得，则，
结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2．
故选：D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为B. 值域为
C. 在上单调递减D. 图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.故选：ABD.
10. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为2
D. 若，且，那么最小值为
【答案】BC
【解析】对于A：，显然时取到最大值，故A正确；
对于B：由，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，故C错误；
对于D：因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BC.
11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于轴对称
D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上
【答案】BCD
【解析】对于A，当，时，，，，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
若是无理数，则是无理数，所以，；
若是有理数，则是有理数，所以，；
所以，故是偶函数，图象关于轴对称，故B正确；
对于C，由B可知，，
所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，故C正确；
对于D，设， ，C0,1，
则，所以是等边三角形，
又因为，，，所以的顶点均在的图象上，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．
【答案】f（x）＝x2+2x
【解析】当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝x2+2x，
又f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．
故答案为：f（x）＝x2+2x．
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，又，
所以
.
故答案为：.
14. 设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．
【答案】39
【解析】由，知．
若，则，矛盾．
因此，．
则，，，．
又，故，，，．
因为，，
所以，，．因此，．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 设集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）依题意，，
由，得，则，解得或，
当时，则，满足；
当时，则，满足，
所以或.
（2）由（1）可知，，，
若，则，解得；
若，则，无解；
若，由（1）知；
若，则，无解，
所以实数的取值范围是.
16. 根据下列条件，求的解析式.
（1）是一次函数，且满足；
（2）.
解：（1）由题意，设
因为，
所以，
即，
由恒等式性质，得，
解得，则所求函数解析式为.
（2）因为，将原式中的x与互换，得，
于是得关于方程组：，
解得.
17. 解关于的不等式.
解：当时，不等式化为；
当时，.
当时，若，不等式解为或；
若，不等式解为；
若，不等式解为或；
当时，此时，，
不等式解为.
综上，时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数在上的值域；
（3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意，得到，
所以，整理得到，所以，
又，得到，解得.
所以，.
（2）由（1）可知.设，
则，
因为，所以，则，，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
又，，所以函数在上的值域为.
（3）由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立.
若，则在区间上为增函数，由，
得到，
若，则，此时在上恒成立，
若，则在上为减函数，由，得到.
综上可知：，即实数的取值范围为.
19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集.
（1）分别判断集合是不是理想数集；
（2）任取一个元理想数集，求证：；
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
解：（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）证明：不妨设集合且，
即.
为理想数集，，则，且，
使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.