专题01 相交线与平行线2-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024）(原卷版+解析版)

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题型一：根据平行线的性质探究角的关系
1．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若、是同旁内角，并且，满足，则称是的内联角．
(1)如图1，已知是的内联角．
①当时，________°；
②当直线时，求的度数．
(2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点．是的内联角吗？请说明理由．
【答案】(1)①80；②
(2)是，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，同旁内角等知识点，握平行线的性质及同旁内角是解决本题的关键．
（1）①已知，；②因为，、是同旁内角，所以，则，可得的度数．
（2）因为，，，可得，即是的内联角．
【详解】（1）解：①是的内联角，
，
，
；
故答案为：80．
②是的内联角，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是，理由如下：
是的内联角，
，
，，
，
，
又是同旁内角，
是的内联角．
2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，点P为射线上的动点（不与点A重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．
(1)若，则__________；
(2)猜想与之间的数量关系并说明理由；
(3)设的度数为，当点P运动到使时，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质得到，然后利用角平分线的定义得到，，进而求解即可；
（2）同（1）的方法求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵、分别平分和，
∴，
∴；
（2），
理由：，
，，
又平分，
，
；
（3），
，
又，
，
，
、分别平分和，
，即，
，，
，
．
3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，已知，的平分线交交于点.
(1)求证：；
(2)若点为射线上一点.连接，探究和之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】(1)见详解
(2)或
【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义即可得解；
（2）分两种情况讨论，分别作图，运用数形结合思想以及平行线的性质即可得解．
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
；
（2）解：当点在线段上时，过点作，交于点，连接，
，
，
，
，
，
．
当点在线段的延长线上时，过点作，连接，
，
，
，
，
，
．
综上，或．
4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．

(1)求证：；
(2)作的平分线交于点H，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的有关计算，
（1）由平行得，结合已知求出即可证出结论；
（2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论；
【详解】（1）证明：，
与互余，
；
（2），
，平分，
．
5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平分，，，求证：平分．
完成下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴______（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵，
∴（______），
______（两直线平行，同位角相等），
∴______（等量代换），
∴平分．
【答案】，两直线平行，内错角相等，，
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴平分．
6．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图)
(1)如图1，当点在线段上时，
①依题意，在图1中补全图形；
②若，则__________(填度数)．
(2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明．
(3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时，
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）①根据几何语言画出对应的几何图形；
②根据平行线的性质得到，，所以；
（2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可；
（3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：
②∵，
∴，，
∴；
（2）解：当D点在的延长线上时，如图2，；
理由如下：
∵，
∴，，
∴；
（3）解：当点D在上时，；
∵，
∴，，
∴；
当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，；
当D点在的延长线上时，如图3，；
理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴．
7．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知∶ 平分
(1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，当时，求的度数；
(3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证；
（2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解；
（3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：当时，，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键．
题型二：根据平行线的性质求角的度数
8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键；
（1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
9．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出的同位角的有哪些？
(2)若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的的度数为多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了对同位角定义的应用，平行线的性质，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．平行线的性质：（1）两直线平行同位角相等；（2）两直线平行内错角相等；（3）两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，处于两条直线的同旁，位于第三条直线的一侧的两个角叫同位角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：与是同位角的有，；
（2）解：∵，
．
∵，
∴．
10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题．
(1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数．
(2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质，利用角的关系求解；
（1）先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质求出，，再根据角的和差求出的度数即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：
〖活动素材〗如图，长方形纸片．
〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的；
〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系；
〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢?
〖任务1〗求证：；
〖任务2〗若，求的度数；
〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系．
【答案】〖任务1〗 〖任务2〗 〖任务3〗
【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可；
（2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可；
（3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论．
【详解】解：〖任务1〗如图1，则，
又∵
∴，
∴；
〖任务2〗解：由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
〖任务3〗由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
12．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接．
(1)如图，若，，则 ；
(2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？
(3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）如图，作，可得，再利用平行线的性质即可求解；
（）由角平分线的定义得，，进而由（）得，即得，得到，如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解；
（）利用角平分线可得，进而由平行线的性质可得，即得，又由垂直得，过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形解答即可求解；
本题考查了平行线性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵分别是的角平分线，
∴，，
由()可得，，
∴，
解得，
∴，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况，
当即时，如图①，
∴，
∵，
∴，此情况不成立；
当，即时，如图②，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
当，即时，如图③，
∵
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
综上，当与的一条边平行时，的值为或．
题型三：平行线的性质在生活中的应用
13．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果．
【详解】解：如图，
∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴，
∴，
故选：C．
14．（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，

∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）

A．3或21秒B．3或19.5秒C．1或19秒D．1或17.5秒
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要，
∴，
由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1：
，即，
解得：，
如图2

此时，
即，
解得：，
综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒，
故选：D．
16．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
17．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ．
【答案】/122度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵水中的两条光线平行，，
∴，
∵水面和杯底互相平行，
∴，
∵，
故答案为：．
18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由．
解：因为扶手与底座都平行于地面，即，
因为（已知）．
所以（ ）．
因为______（平角的定义），
又因为（已知），
所以______（等式的基本性质）．
因为（已知），
所以______（ ）．
所以______（平角的定义）．
【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解．
【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即，
因为（已知）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为（平角的定义），
又因为（已知），
所以（等式的基本性质）．
因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
所以（平角的定义）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；．
题型四：根据平行线判定与性质求角度
19．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形中，D、E、F分别是、、上的点，且．
(1)若，试判断与是否垂直，并说明理由；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：
（1）根据，可得，再由，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，再根据角平分线的定义，可得，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识．
（1）先根据得到，结合证明，从而得到；
（2）先求出，再证明，进而证明，即可求出．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，，
，即，
．
21．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，直线，．
(1)补全下列说理过程；
∵（已知），
∴_______（___________）．
∵（已知），
∴_______（等量代换），
∴（__________）；
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证；
（2）由平行线的性质结合题意得出，再由角平分线的定义得出，即可得出答案．
【详解】（1）解： ∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
23．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
（1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴①，
又∵②，
∴①②联立可得，
∴．
24．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）利用，再利用等量代换，即可解决；
（2）过作，因为，所以，则，，代入即可解决．
（3）过作，过作，可以得到，设，利用平行线的性质，用表示出角，即可解决．
【详解】（1），，
，
，
（2）过作，如图，
，
，
，，
，
（3）如图，过作，过作，
，
，
平分
∴可设，
∵平分
,
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．
题型五：根据平行线判定与性质证明
25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）补全下面推理过程：
已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余．
求证：
证明：，
______
平分，
______=______角平分线定义，
______等量代换，
______，
垂直的定义，
，
______，
与互余，
______互余的定义，
______，
______
【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
（角平分线定义），
（等量代换），
，
（垂直的定义），
，
，
与互余，
（互余的定义），
（同角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
26．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）．
解：∵，（________），
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________），
∴（________）
∴________（________）
∴（________）
【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等．根据相关知识点逐一判断填空即可．
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知），
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
27．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（已知）
（平角的定义）
∴①________（同角的补角相等）
∴②________（同位角相等，两直线平行）
∴（③________）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（④________）
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的补角相等，平行线的判定方法和性质，进行作答即可．
【详解】解：∵（已知）
（平角的定义）
∴（同角的补角相等）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
28．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时．
(1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）；
(2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明．
【答案】(1)
(2)或，见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，
（1）过点E作，先证明，得出，根据角的和差计算得出结论；
（2）分两种情况：当E在的上方时或当E在的下方时，分别作辅助线根据平行线的性质求出结论．
【详解】（1）解：与之间的关系为：，理由如下：
如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，当E在的上方时，，证明如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，当E在的下方时，，证明如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
29．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)试说明：．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键，
（1）根据平行线的判定和性质即可证明；
（2）根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明．
【详解】（1）解：．理由如下：
因为，
所以．
因为，
所以，
所以；
（2）证明：如图，延长交于点．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
30．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【探索发现】
（1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：．
【深入思考】
（2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）过点作，证明，则，．即可得到结论；
（2）由邻补角、三角形内角和定理和（1）中的结论求出，即可证明；
（3）利用平行线的性质和（2）中的条件列方程，进行解答即可．
【详解】（1）解：过点作，
，
．
，．
．
即；
（2）证明：在三角形中，
，
，
．
∵，
．
∴；
（3）解：平分，，
．
设，
．
在（2）的条件下，
．
在（2）的条件下，，
，
解得：，
．
设，
平分，
．
，
．
．
，
在（2）的条件下，，
同理可得：．
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
31．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知，直线与直线分别交于点E、F.
(1)如图1，，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的大小不变，.
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行；
（2）过点P作，根据与的角平分线交于点，可得，进而证明；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数．
【详解】（1）（1）解：，理由如下：
，，，
，
∴；
（2）解：如图，过点P作，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，.
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
平分，
∴，
∴．
32．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上．
(1)如图1，若，，且，则的度数为 ；
(2)如图2，若，，平分，过点D作交于点F，求证：；
(3)如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在上方的直线上，试探究，和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)满足条件的关系是或，理由见解析
【分析】（1）由垂直的定义先求出再根据平行线的性质即可得到；
（2）设则，由角平分线的定义得到则 ，同理可得，再由垂直的定义得到, 则 ；
（3）分当点在点上方时，当点在点C，K之间时，点H在点C，D之间时，三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可．
本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵,
，
故答案为：；
（2）证明：设．
，
．
平分，
，
．
，，
，，
．
，
，
．
（3）解：如图，当点H在点K上方时，过点H作，则，
，，
，
，
，
；
如图，当点H在点C，K之间时，过点H作，则，
，，
，
，
，
，即；
如图，当点H在点C，D之间时，过点H作，则，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的关系是或
题型六：解题模型-猪蹄模型
33．（22-23七年级下·江西·期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

【问题探究】
（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由
【类比迁移】
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图2，直线．若，，，求的度数；
【灵活应用】
（3）如图3，直线，若，，则__________度．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可；
（2）过点G作，由（1）中的结论得到，，进而求解即可；
（3）过点E作，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，过点E作

∵
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）如图所示，过点G作

∵
∴
由（1）可得，，
∴
；
（3）如图所示，过点E作

∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用．
34．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)等于
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过作．得，故，，因此．
（2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之间的数量关系：．
理由如下：
如图：过作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之间的数量关系：．
（3）证明：、分别平分和，
，，
由（1）结论得：，
，
．
，
，
，
由三角形内角和得：
．
答：等于．
35．（22-23七年级上·四川遂宁·期末）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）
解：因为
所以 （ ）
因为（ ）
又因为
所以 （ ）
即
所以
由（1）知
∴
(3)【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质和判定求解即可；
（3）根据平行线的性质得出，再由角平分线及（1）中结论求解即可．
【详解】（1），理由如下：
过点E作，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）因为
所以（两直线平行，同旁内角互补）
因为（平角的定义）
又因为
所以（等角的补角相等）
即
所以
有由（1）知：
所以．
（3）∵
∴，
∵
即，
∴
由（1）可知，
，
∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．
36．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）过E作，根据平行线的性质求解即可；
（2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案．
（3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：， 理由如下：
过E作，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）如图，过作，过作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，分别过作，的垂线，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作的平行线，而，
∴，
∴，，
∴，
∴．
37．（22-23七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
(1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ；
(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ；
如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ；
如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示)
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)(i)； (ii)； (iii)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解；
（2）过点作，根据（1）的方法即可求解；
（3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解；
（）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解；
（）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：．
（2）,
如图所示，过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）解：（）由（2）可得， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（）解：如图所示，∵
由“猪蹄模型”，可得，；
∵、分别平分和
∴
∴
∴，
∴,
故答案为：．
（）解：如图所示，延长交于点，
设，
∵、分别平分和，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型七：解题模型-铅笔模型
38．问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 ；
问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 ；
问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题：
已知，与两个角的角平分线相交于点．
（1）如图4，若，求的度数；
（2）如图5中，，，探究与之间的数量关系；
（3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出 ．
【答案】问题情境；问题情境2:；（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：；
问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：
（1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论．
【详解】解：问题情境
如图2，，理由是：
过作，
，，
∴，
，，
，
即，
故答案为：；
问题情境2：
如图3，，理由是：
过点作，
∵，
∴，
，，
，
即；
故答案为：；
问题迁移：
（1）如图4，、分别是和的平分线，
，，
由问题情境1得：，
，
，
，
；
（2）如图5，，理由是：
设，，则，，，，
由问题情境1得：，
，
，
，
，
，
；
（3）如图5，设，，
则，，，，
由问题情境1得：，
，
，
，
，
；
故答案为：．
39．（23-24七年级上·山东济南·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你帮忙完成推理过程：
解：（1）过点P作（如图2）则
（ ）
∴
∵，
∴（ ）
∴
又∵
∴
∴
【问题迁移】（2）如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图4，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2），理由见解析；
（3）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可；
（3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）过点P作（如图2）
则：（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2），，之间的数量关系为：．理由：
过点P作，如图，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）过点P作，过点Q作，如图，
由（2）的结论可得：，
∵的平分线与的平分线相交于点Q，
∴，
∴
．
40．（1）如图1，，则 度．
如图2，，则 度．
如图3，，则 度．
请在图2中，证明你所填写结论的正确性．
（2）如图4，，则 度．
（3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？
【答案】（1）①180，②360，③540；（2）（n-1）180°；（3）180°-m°，∠BFD是钝角
【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论．
（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．
（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．
【详解】解：∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
过点A2 作A2B∥A1M，
∴∠MA1A2+∠A1A2B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MA1∥NA3，
∴A2B∥NA3（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BA2A3+∠A2A3N=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N=180°+180°=360° ，
即∠A1+∠A2+∠A3=360°；
分别过点A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M，
同上题可得180°+180°+180°=540°，
即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，
故答案为：180，360，540．
（2）∵∠A1+∠A2=180°=1×180°，
∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°．
故答案为：（n-1）180°．
（3）根据上述结论得：
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°，
即2（∠ABF+∠CDF）+∠E=360°，
∴2（∠ABF+∠CDF）=360°-∠E=360°-m°，
∴∠ABF+∠CDF=180°-m°，
即∠BFD=180°-m°，
又∵0＜m＜180，
∴0＜m＜90，
∴90°＜180°-m°＜180°，
∴∠BFD是钝角．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．
41.已知，点P在直线之间，连接．
(1)探究发现：（填空）
如图1，过P作，
______
（已知）
（____）
_______；
(2)解决问题：
①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由；
②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）．
【答案】(1)180，两直线平行，同旁内角互补，360
(2)①；②=
【分析】（1）读懂每步推理及推理的依据，即可完成填写；
（2）①两角关系为：；由AB∥CD、角平分线的性质及三角形外角的性质可得，再由（1）的结论即可得到两角的关系；
②延长AM交CD于H，设∠BAM=β，∠MDN=α，由平行线的性质及（1）的结论可得∠B+2α=80゜，∠B+2β=180゜，从而可得β−α=40゜；再由AB∥CD及三角形外角的性质可得∠AMD=∠MHD+α=180−β+α，从而可求得结果．
【详解】（1）（1）如图1，过P作，
180
（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
360；
故答案为：180；两直线平行，同旁内角互补；360
（2）①
分别平分
∴，
由（1）知
②如图3，延长AM交CD于H
设∠BAM=β，∠MDN=α
∵AM、DM分别平分∠PAB、∠CDN
∴∠PAM=∠BAM=β，∠MDH=∠MDN=α
∵BN∥AP，DN∥PC
∴∠B+2β=180゜，∠C+2α=180゜
∴∠B+2β+∠C+2α=360゜
由（1）结论及∠APC=100゜
∴2β+∠C=360゜−∠APC=260゜
∴∠B+2α=100゜
∴∠B+2β−(∠B+2α)=80゜
即β−α=40゜
∵AB∥CD
∴∠MHD=180゜−β
∴∠AMD=∠MHD+α=180−β+α==180゜−(β−α)=140゜
即的度数为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质与角平分线的性质等知识，构造适当的辅助线是解决本题后两问的关键，也是本题的难点．
42．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；
（3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论.
【详解】（1）解： 过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴,
∴；
（3）解：过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键.
题型八：解题模型-鸟头模型
43．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
∴∠A+∠AEC+∠C=360°，
故①正确；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为3，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
44．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系．
①小红的做法是：如图2，过点作．
②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】
（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
图4
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）①过点作，根据平行线的性质得出；
②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作．
∵
∴
∴
∵；
②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
∴，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点作
∵和的角平分线相交于点．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
45．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4）
【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；
（2）过点P作，由，得到，从而得到结论；
（3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系．
【详解】（1）解：猜想．
理由：过点P作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）．
理由：如图，过点P作，

∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3）：．
理由：∵，

∴，
∵，
∴，
即；
如图（4）：．
理由：∵，

∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
46.已知．

(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；
②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；
（2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案；
②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，过E作，

∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
（2）①如图，
过F作，交于H点，过点作，则，，

∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
②如图，过点F作，则，作，

设，则，
∵，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴
∴，即
∴，，
当K在上，，
同推出的道理可证：
∴，
∵平分，
∴，即，
∴；
当K在延长线上时，

同推出的道理可证：
∴
∵
∴，
∵平分，
∴，即，
∴；
综上所述，或．
故答案是：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
47．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：
，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．
（1）小红的做法是：如图2，过点作．
（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】
（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
【学以致用】
（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．；
（1）①过点作，根据平行线的性质得出；
②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解．
（3）过点H作，利用（1）中结论，利用平行线的性质、角平分线定义、邻补角和为，角与角之间的基本运算、等量代换等得出，进而用等量代换得出．过点H作，由①的结论得．利用平行线性质得，由角平分线定义及邻补角可得．继续使用等量代换可得度数．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作．
∵
∴
∴
∵；
②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
∴，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点作
∵和的角平分线相交于点．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
（3）过点H作，如图，
由（1）可得，
由图可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
过点H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型九：解题模型-靴子模型
48．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
49．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，
，
，，
，
，
．
即．
可以运用以上结论解答下列问题：
(1)【类比应用】
①如图3，已知，已知，，求的度数；
②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(2)【拓展应用】
如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；
②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；
（2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得．
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【详解】（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
解：②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
50.已知，．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后计算即可得证；
（2）过点作于点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
解得，
平分，平分，
，
，
由（1）已得：，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
51.已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明；
(3)如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先延长BA，再利用三角形外角性质和平行线性质证明即可；
（2）由（1）中结论，结合三角形内角和证明即可；
（3）设，根据（1）中的结论表示出，过G作GK∥AB，即可表示出，最后根据列方程求出x的值即可．
【详解】（1）延长BA交CE于H，则
∵
∴
∴
（2），理由如下：
∵平分平分，
∴
∵
∴
由（1）可得
∴
（3）过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD
设，
∵平分平分，
∴
∴
∵GK∥AB∥CD
∴
∴
根据（1）中的结论可得：
∴
∴
∵
∴
解得
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
52．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
53．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，点P为直线AB上方一点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由：
(3)在（2）的条件下，若CE经过点A，，点M是直线PC上一点，请直接写出和、的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)或或
【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质即可证明；
（2）过点P作，过点Q作，利用平行线的判定和性质得到①，②，③，④，计算即可得到；
（3）求得，延长交于点G，则，分三种情况讨论，当点M在的延长线上时，当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，利用三角形的外角性质，计算即可求解．
【详解】（1）解：；
过点P作，
∵，
∴，
∴，
，即，
∴，即；
（2）解：；理由如下，
过点P作，过点Q作，
∵平分，平分，即平分，
∴，，
∵，
∴，
∴①，
②，
③，
④，
由①②得，
代入③得⑤，
由④⑤得；
（3）解：∵，CE平分∠PCD，
设，
∴，即，
延长交于点G，则，
当点M在的延长线上时，
由（1）得，
∴，即；
当点M在线段上时，
，
∴；
当点M在线段的延长线上时，
，
∴，即，
∴；
综上，或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线，构造内错角以及同位角，依据三角形外角性质进行计算求解．