专题01 相交线与平行线-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024）(原卷版+解析版)

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清单01 邻补角
1. 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角 .
特别提醒： 互为邻补角的“两要素”(1)有一条公共边；(2)它们的另一边互为反向延长线 .
2. 邻补角与补角的区别与联系
特别解读
①邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角.
②邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系. “邻”指 的是位置相邻，即两个角有一条公共边， “补”指的是两个角的数量关系是互补.
清单02 对顶角
1.定义： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角 .
特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .
2. 性质： 对顶角相等 .
特别提醒： 相等的两个角不一定是对顶角 .
3. 对顶角与邻补角的区别与联系
清单03 垂直与垂线
1. 垂直与垂线
特别解读
① 垂直是相交的特殊情况：夹角为 90° .②垂线是直线 .
③两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直 .
2. 垂直定义的双重性：垂直的定义既是判定也是性质，如图 7.1-10 所示 .
∠ BOC=90°判定 AB ⊥ CD
垂线的画法：经过一点（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：
特别说明： 当点在直线上时，画法相同 .
4. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
特别提醒
①“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性 .
②性质中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以
在直线外 .
清单04 垂线段及点到直线的距离
1. 垂线段及点到直线的距离
特别解读
①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段 .
②点到直线的距离是两点间距离的特殊情况：直线外一点到垂足这两点间的距离 .
2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 . 简单说成： 垂线段最短 .
特别说明：与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据 .
清单05 同位角、内错角、同旁内角
1.同位角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 .
特别提醒：(1)同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有 4 对同位角 .
位置特征：
特别解读
①“同”表 示“相 同”， “位” 表 示“位置” “同位角”可理 . 解为“相同位置的两个角”，即如果一个角在左上方，那么另一个角也应在左上方.
②同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线(截线)，另一对边不共线(被截线).
2.内错角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中， 两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 .
特别提醒
(1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；
(2)在“三线八角”中，有 2 对内错角 .
位置特征
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 .
位置特征
特别提醒
①同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系.
②在“三线八角”中，有2对同旁内角.
清单06 平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
特别提醒： 平行线定义的“三要素”(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 .
清单07 平行线的基本事实及其推论
1. 平行线的基本事实： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
特别提醒： 平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线 .
2. 平行线基本事实的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
简单说成： 平行于同一条直线的两条直线平行 .
表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
清单08 平行线的判定
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
清单09 平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3.平行线的判定与性质的区别与联系：平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行) .
清单10 定义、命题、定理
1.定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定
义 .
2.命题
3. 命题与定义的区别与联系
4. 定理： 经过推理证实的真命题叫作定理 .
特别解读：定 义、基 本 事 实 (公理)、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实 (公理)是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.
清单11 平移
1.定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
特别提醒：平移图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离.
2. 平移的“两要素”：(1)平移的方向；(2)平移的距离 .
3. 平移中的对应元素如图7.4-1，把三角形ABC沿直线EF的方向平移得到三角形A′B′C′.
对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′；
对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′；
对应角： ∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ .
4.平移的性质
5.平移作图的步骤
(1)定：确定平移方向和平移距离；
(2)找：找到构成原图形的关键点；
(3) 移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点；
(4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形；
(5)写：写出结论
【考点题型一】两条直线相交（）
【例1】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，直线相交于点，把分成两部分．
(1)图中的对顶角为______，的邻补角为______；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义，几何图中的角度计算．
（1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可．
（2）由对顶角的定义得出，再结合已知条件可得出，最后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】（1）解：图中的对顶角为，的邻补角为；
（2）解：，
，
且，
．
【变式1-1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（ ）
A．增加B．不变C．减少D．增加
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴增加时，增加，
故选：D．
【变式1-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查对顶角的定义，是简单的基础题，熟记对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义即可求解．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角．
【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是．
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两直线平行，同旁内角相等
D．过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；
B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；
D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-4】（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列命题是真命题的个数为 ．
①对顶角相等；②若，，则；③同位角相等；④互补的两个角是邻补角．
【答案】2
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据对顶角相等、平行线的判定、平行线的性质、邻补角的概念判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②若，，则，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题；
④互补的两个角不一定是邻补角，故本小题命题是假命题；
则真命题的个数为2个，
故答案为：2．
【考点题型二】两条直线垂直（）
【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题：
①过点P画的垂线，垂足为H；
②在直线上找一点C，使得直线；
（2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接）
【答案】（1）①图见解析；②图见解析
（2）直线；
【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据网格线的特征作图即可；
（2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可．
【详解】解：（1）如图所示：①即为所求；
②如图所示：即为所求；
（2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是，
故答案为：，，．
【变式2-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图所示，，于，则下列结论中错误的为（ ）
A．B．点到的垂线段是线段
C．点到的距离是线段D．线段的长度是点到的距离
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离、垂直的定义，对平面几何中概念的理解，根据点到直线的距离，垂直的定义，可得答案．
【详解】解：A、，
∴，正确，不符合题意；
B、点到的垂线段是线段，正确，不符合题意；
C、点到的距离是线段的长度，错误，符合题意；
D、线段的长度是点到的距离，正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即，则此时的度数为 度．
【答案】45
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，垂线定义理解，先根据垂线定义结合三角板中的角度大小求出，再根据，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：45．
【变式2-3】（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【考点题型三】同位角、内错角、同旁内角（）
【例3】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C．
(1)指出，被所截形成的同位角、内错角；
(2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角；
(3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角．
【答案】(1)同位角：和；内错角：和
(2)内错角：和，和；同旁内角：和，和
(3)内错角：和，和；同旁内角：和，和
【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键．两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角．依次判断即可．
【详解】（1），被所截形成的同位角：和；内错角：和
（2），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和
（3），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和
【变式3-1】（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了同位角的定义：两条直线被同一条直线所截，在截线的同旁，在两直线的同侧的两个角角同位角，据此判断
【详解】解：A.与是同位角，故该项不符合题意；
B.与是同位角，故该项不符合题意；
C.与是不同位角，故该项符合题意；
D.与是同位角，故该项不符合题意；
故选：C
【变式3-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，与是内错角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
【详解】解：直线a，b被直线c所截，则的内错角是．
故选：C．
【变式3-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与构成同旁内角的有 个．
【答案】4
【分析】此题考查了同旁内角定义，根据同旁内角的定义，进行判断即可．
【详解】与构成同旁内角的有，，，，共4个．
故答案为：4．
【考点题型四】平行线的概念（）
【例4】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)
【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线．
（1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；
（2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系；
（3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：，理由见解析，
如图：过点作，过点作，过点作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
【变式4-1】（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：依题意，当时，；
当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）．
故选：D．
【变式4-2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③B．④②①③C．④②③①D．④③①②
【答案】B
【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【变式4-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫两点的距离
B．绝对值等于它本身的有理数是0和1
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．所有的有理数都能用数轴上的点表示
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理，线段的性质，绝对值的性质，有理数与数轴的关系．根据平行公理，线段的性质，绝对值的性质，有理数与数轴的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、连接两点的线段的长度叫两点的距离，原说法错误，本选项不符合题意；
B、绝对值等于它本身的有理数是非负数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本选项不符合题意；
D、所有的有理数都能用数轴上的点表示，说法正确，本选项符合题意；
故选：D．
【变式4-4】（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作 交于点，以为边作．
(1)若，则与的关系是 ；
(2)若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明．
【答案】(1)相等或互补；
(2)或或．
【分析】（1）根据题意作图，根据平行线的性质即可求解；
（2）分三种情况分别作图，根据平行线的性质解答即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴与的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（2）解：共有三种情况：
①如图，当与射线交于点时，．
证明：过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
②如图，当与线段交于点时，．
证明：过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
③如图，当与射线交于点时，．
证明：过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，数量关系为或或．
【考点题型五】平行线的判定（）
【例5】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据．
如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：．
解：∵，
∴ （等式的性质），
∴ （ ）.
又∵，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴（ ）.
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，
先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案．
【详解】解：∵，
∴（等式的性质），
∴（同位角相等，两直线平行）．
∵，
∴（补角定义），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
【变式5-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解此题的关键．
【详解】解：A、根据，利用同位角相等，两直线平行，可以判定，故A不符合题意；
B、不能能判定，故B符合题意；
C、∵，,
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据，利用同旁内角互补，两直线平行，能够判定，故D不符合题意．
故选：B．
【变式5-2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明．
【详解】证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-3】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式5-4】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知和射线，作于E．
(1)仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，若平分，证明：．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练的画图是解本题的关键.
（1）以为圆心，为半径画弧交于，则；
（2）先证明，再证明，可得，从而可得结论；
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【考点题型六】平行线的性质（）
【例6】（24-25七年级下·全国·期末）阅读题目，完成下面推理过程．
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且．
求证：．
证明：如图（2），延长交于点．
（已知），
（_______）
又（_______），
_______（等量代换），
（_______），
（_______）．
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（_______）．
【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
平行线的性质：两直线平行，同位角相等；
两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等；
平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【详解】证明：如图（2），延长交于点．
（已知），
（两直线平行，内错角相等）
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（同角的补角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．
【变式6-1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若．
求证：
证明：∵（已知），且（ ），
∴______（等量代换），∴______（____________），
∴______（____________），
又∵（已知），
∴______（____________），
∴．
【答案】对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得到，证明，利用等量代换即可证明结论．
【详解】证明：∵（已知），且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴．
故答案为：对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等
【变式6-2】（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知直线，点C，D在直线上，点E，F是直线外两点，连接，且，．
(1)求证：；
(2)的平分线交于点G．若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)25度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【变式6-3】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
（1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数．
【详解】
解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
【变式6-4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键．
（1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解；
（2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论；
（3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
【变式6-5】（24-25七年级上·河南南阳·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图，直线，求证：
（1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由．
解：过点作直线，
（ ）
（已知），，
（ ）
（ ）
，
（ ）
（2）如图2，直线，若，，则 ；
【方法运用】
（3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换（2）（3），理由见详解（4）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：过点作直线，
（两直线平行，内错角相等）
（已知），，
（两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
（两直线平行，内错角相等）
，
（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
（3），
理由如下：如图，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图所示，
由（2）知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
由（1）知：；
【考点题型七】定义、命题、定理（）
【例7】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即．
(1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明；
(2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式．
【答案】(1)图①：，图②：，见解析
(2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得；
（2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【详解】（1）关系是：图①：，图②：，
如图①∵，
∴
∵，
∴
∴
如图②∵，
∴
∵，
∴
∴．
（2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
【变式7-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）下列命题中的假命题是（ ）
A．点到x轴的距离是2
B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
C．在同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行
D．在数中，有理数有4个
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离判断即可．
本题考查了命题与定理，掌握两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离是解题的关键．
【详解】解：、点到轴的距离是2，是真命题，不符合题意；
、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是真命题，不符合题意；
、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意；
、在数中，有理数有4个，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【变式7-2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ．
【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可．
【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数，
故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．
【变式7-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）判断一个命题是假命题，只用举出一个反例，请举例说明命题“如果，那么.”是假命题，则 ， .
【答案】 （答案不唯一） 2（答案不唯一）
【详解】解：当，时，，
∴“如果，那么.”是假命题，
故答案为：，2（答案不唯一）．
【变式7-4】（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ．
①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案．
【详解】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意；
②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意；
③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意；
④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意；
综上分析：假命题的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【变式7-5】（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知，．现有3个条件：①；②；③．
(1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号）
(2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据．
【答案】(1)①，③（或③，①）
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的判定及性质．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答．
【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③；
或：选择的条件是③，结论是①．
故答案为：①，③（或③，①）
（2）解：选择的条件是①，结论是③，则证明如下：
证明：（已知），
（垂直的定义），
（余角的定义）．
，且（已知），
（等量代换）．
（等角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
选择的条件是③，结论是①，则证明如下：
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）
（已知），
（垂直的定义），
（余角的定义）．
（已知），
∴（等角的余角性质）．
【考点题型八】 平移（）
【例8】（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为．
(1)直接写出点，的坐标；
(2)画出平移后得到的；
(3)求面积；
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）根据，两点坐标，即可得到结论．
（2）分别作出，，的对应点，，即可．
（3）直接运用割补法求解即可．
【详解】（1）点，．
三角形向右平移了6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，
，，
点，；
（2）如图所示即为所求；
（3）面积；
【变式8-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到，
选项B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到；C中的图形可通过旋转得到；
故选：A．
【变式8-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解决本题的关键．
根据平移的定义判断即可．
【详解】解：根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么D符合题意．
故选：D．
【变式8-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（ ）
A．108米B．106米C．104米D．102米
【答案】C
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可．
【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于，纵向距离等于，
长米，宽米，
故从出口A到出口B所走的路线长为：（米），
故选C．
【变式8-4】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
=，
绿化区的面积是，
故选：B．
【变式8-5】（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为，正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得，根据，，即可判断结论④；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行且相等．
【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴且；且；，
故结论①②正确；
∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴，，
∴和的周长和为：，
故结论③正确；
∵，
又∵，，
∴，
故结论④正确；
根据平移可知，，
则边扫过的图形的面积为：
，
即边扫过的图形的面积为，
故结论⑤错误；
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
邻补角
补角
区别
与角的大小、位置均有关
只与角的大小有关，与位置无关
一个角的邻补角有且仅有两个
一个角的补角可以有无数多个
联系
1. 都是两个角之间的关系，以“互为”体现；2. 两个角的和都是 180°
邻补角
对顶角
区 别
数量关系
邻补角互补
对顶角相等
位置关系
由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成邻补角有一条公共边
对顶角必须由两条直线相交形成对顶角没有公共边
相同点
①都是两个角之间的关系 , 要成对出现；
②对顶角与邻补角都有公共顶点
垂直
如图 7.1-9，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，当∠ BOC=90°（或形成的四个角中的任意一个角等于 90°）时，直 线 AB 与 直 线 CD 互 相 垂 直， 记 作AB ⊥ CD，读作“AB 垂直于 CD”
垂线
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足，如图 7.1-9， AB ⊥ CD，垂足为O
步骤
内容
图示
一落
让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合
二移
沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点
三画
沿此直角边画直线，并标明垂足和垂直符号
名称
概念
符号语言
图示
区别
垂线段
过直线外一点向已知直线作垂线这个点与垂足之间的线段，叫作垂线段
线段 CO 叫作点 C 到直线AB 的垂线段
是 一 条 线段， 属 于几何图形
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
CO 的长度就是点 C 到直线 AB 的距离
是 线 段 的长 度， 是一个数量
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
同位角
在截线同侧，在两条被截直线同一侧
形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
内错角
在 截 线 两 侧， 在两 条 被 截 直 线之间
形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
同旁内角
在 截 线 同 侧， 在两 条 被 截 直 线 之间
形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）
定义
可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句叫作命题
如：对顶角相等
组成
命题由题设（条件）和结论两部分组成 . 题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
命题“对顶角相等”中，题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”
结构形式
一个命题常写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论
“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”
分类
真命题：被判断为正确（或真）的命题
如：对顶角相等
假命题：被判断为错误（或假）的命题
如：相等的角是对顶角
定义
命题
区别
性质
描述一个数学对象的本质特征
对事情作出判断，可以是真或假
功能
旨在阐明某个术语的意义，使其易于理解和应用
提供信息，表达观点或关系
形式
通常采用“X 叫作 Y”的结构，用以说明 X 的属性或类型
可 以 是 任 何 完 整 的 句子，通常涉及主语和谓语
联系
定义可以是命题，但命题不一定是定义，命题的准确性往往依赖于相关概念的定义
性质
图示
1. 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同
2. 连接各组对应点的线段平行( 或在同一条直线上 ) 且相等
AA′∥BB′∥CC′； AA′ =BB′ =CC′
3. 平移前后两个图形中的对应线段平行 ( 或在同一条直线上 )且相等，对应角相等 .
AB ∥ A′ B′， AC ∥ A′ C′， BC ∥ B′ C′， AB=A′ B′， AC=A′ C′， BC= B′ C′，∠ BAC= ∠ B′ A′ C′， ∠ ABC= ∠ A′ B′ C′， ∠ ACB= ∠ A′ C′ B′