吉林省长春市多校2024-2025年下学期九年级4月联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份吉林省长春市多校2024-2025年下学期九年级4月联考数学试题（原卷版+解析版），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
3. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四位同学用不同的方法得到一个与相等的角，其中正确的（ ）

图①奇奇利用尺规得到
图②思思利用尺规得到
图③妙妙借助时，得到
图④想想借助时，得到
A. 只有奇奇，思思B. 只有奇奇，妙妙
C. 只有奇奇，妙妙，想想D. 有奇奇，思思，妙妙，想想
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知与是同类项，则的值是_________.
10. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________．
11. 如图，在中，点在边上，过点作，交点．若，则值是________．

12. 如图，四边形ABCD内接于，过点D作交BC的延长线于E，若的半径是2，且，则劣弧BD的弧长是______．
13. 若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是__________．
14. 如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是________.（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第________步开始出错的；
（2）请写出此题正确的解答过程．
16. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况.
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________.
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.
17. 端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．
18. 如图，在四边形中，，和互相平分并交于点，，求证：四边形是矩形.
19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作线段的中点O．
（2）在图②中，作线段的垂直平分线EF．
（3）在图③中，过点C作线段于点D．
21. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
22 问题解决
（1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________；
类比迁移
（2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且．
①判断线段之间数量关系并说明理由；
②求的度数．
拓展探究
（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值．
23. 在中，，，，平分，动点从点A出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，点、点同时停止运动设点的运动时间为秒，与重叠部分面积为S．
（1）______，______．
（2）用含的代数式表示点到的距离．
（3）当与的一边平行时，求S的值．
（4）当点不与点重合时，作点关于直线的对称点，当直线经过一边中点时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点抛物线上点，的坐标分别为，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线，交点为，以，为边作矩形．
①求；
②线段与轴相交于点，以为边作矩形，使矩形在轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求的值．
2025年九年级校联考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：D
2. 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题．
【详解】将小正方形放在②③④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体，放在①处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体．
故答案为：D．
3. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定，
∴不容易变形的是：B，
故选：B
4. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示为
故选：A．
5. 2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握多边形外角和定理是解题的关键．
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
∴它的一个外角．
故选∶A．
6. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可．
【详解】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
∴（米），
∵，
∴（米）
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．
7. 如图，四位同学用不同的方法得到一个与相等的角，其中正确的（ ）

图①奇奇利用尺规得到
图②思思利用尺规得到
图③妙妙借助时，得到
图④想想借助时，得到
A. 只有奇奇，思思B. 只有奇奇，妙妙
C. 只有奇奇，妙妙，想想D. 有奇奇，思思，妙妙，想想
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等以及对顶角相等，正确理解题意是解题的关键．
分别利用尺规作图，作一个角等于已知角，同角的余角相等以及对顶角相等进行判断即可．
【详解】解：奇奇：连接，
由作法可知，，，
∴，
∴，故正确；
思思： 同奇奇作法可证，故正确；
妙妙：根据同角的余角相等可知，故正确；
想想：根据对顶角相等可知，故正确，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，
由题意，设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴与的边上的高相等，
∴，
又∵，
∴，
解得，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知与是同类项，则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义、求代数式的值．首先根据同类项的定义可知，把，，代入代数式计算即可．
【详解】解：与是同类项，
，
∴．
故答案为： ．
10. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式求解即可中．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴方程有两个的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11. 如图，在中，点在边上，过点作，交点．若，则的值是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，得到结合计算即可，本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴
∵,
∴．
故答案为：．
12. 如图，四边形ABCD内接于，过点D作交BC的延长线于E，若的半径是2，且，则劣弧BD的弧长是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得出，利用圆内接四边形外角性质得到，进而根据圆周角定理得出，再利用弧长公式代值求解即可．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
四边形ABCD内接于，
，
，
的半径是2，
．
【点睛】本题考查求弧长问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，解决问题的关键是熟练掌握圆内接四边形外角性质及圆周角定理的运用．
13. 若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两直线相交的问题，解答此题的关键是解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：联立，得
，
解得，
∵交点在第四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是________.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误．
【详解】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，①说法正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
，②说法正确；
，
，
设正方形的边长为，
在中，
，即，
解得，
∴，
∴，③说法错误；
∵，
则，
，④说法正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第________步开始出错的；
（2）请写出此题正确解答过程．
【答案】（1）一，分式基本性质用错；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式通分的正确方法．本题需先找出原解答过程中的错误步骤及原因，再按照分式化简的正确步骤进行计算．
【小问1详解】
解：该学生解答过程是从第一步开始出错，其错误原因是分式的基本性质用错．通分是将两个或多个分式的分母化为相同的形式，依据分式的基本性质，分子分母要同时乘以同一个不为零的整式．在本题中，对通分，需要给分子分母同时乘以，应得到，而该学生只对分母进行了变形，分子未做相应变化．
故答案为：一；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况.
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________.
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
【小问2详解】
解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
17. 端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．
【答案】每袋品牌粽子的价格为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每袋品牌粽子的价格．
【详解】解：设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，
依题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每袋品牌粽子的价格为元．
18. 如图，在四边形中，，和互相平分并交于点，，求证：四边形是矩形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得，，然后求出，再求出四边形是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】证明：如图，连接，
∵和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【小问1详解】
①从教师评委打分情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作线段的中点O．
（2）在图②中，作线段的垂直平分线EF．
（3）在图③中，过点C作线段于点D．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用网格直接取的中点即可．
（2）取格点，使是以为斜边的等腰直角三角形，再取的中点，连接即可．
（3）根据垂直的定义画图即可．
【小问1详解】
解：如图①，点即为所求．
【小问2详解】
解：如图②，即为所求．
【小问3详解】
解：如图③，即为所求．
21. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
【答案】（1）50，150
（2）
（3）甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．
（1）根据图象列出方程解答即可；
（2）设y与x之间的函数关系式为．利用待定系数法解答即可．将点，代入，即可求解；
（3）根据时，求出甲的时间，进而求出各自各自铺设路面的长度．
【小问1详解】
解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
【小问2详解】
设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问3详解】
当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
22. 问题解决
（1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________；
类比迁移
（2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且．
①判断线段之间的数量关系并说明理由；
②求的度数．
拓展探究
（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2）①；②；（3）长的最小值为，最大值为．
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解；
（2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解；
（3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，即．
∴，
∴．
∴，，即；
∴；
（3）长的最小值为，最大值为．
由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）．
如解图1所示，．
∵，
∴．
连接．当点在线段上时，取得最小值，
如解图1所示，此时．
∴．
∴长的最小值为．
当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值．
如解图2所示，由（2），知．
∴长的最大值为8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键．
23. 在中，，，，平分，动点从点A出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，点、点同时停止运动设点的运动时间为秒，与重叠部分面积为S．
（1）______，______．
（2）用含的代数式表示点到的距离．
（3）当与的一边平行时，求S的值．
（4）当点不与点重合时，作点关于直线的对称点，当直线经过一边中点时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）2或3
【解析】
【分析】（1）如图中，过点作于点于点证明四边形是正方形，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解可得结论；
（2）如图中，过点作于点利用等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，发布期间为；
（4）由（3）可知，当时，垂直平分线段，此时直线经过，的中点．如图4中，当直线经过的中点时，过点作于点利用相似三角形的性质，构建方程求解．
【小问1详解】
解：如图中，过点作于点于点．

，，，
，
，，平分，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
设，
，
，
，
，
，
，．
．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图中，过点作于点．
，，
，
，
，
，
点到的距离为；
【小问3详解】
解：如图中，当时，
则有，
，
，
∴．
如图中，当时，，此时，，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
综上所述，满足条件的S的值为或；
【小问4详解】
解：由可知，当时，垂直平分线段，此时直线经过，的中点．
如图中，当直线经过的中点时，过点作于点．

，
，
，
由对称的性质可知，
，
∽，
，
，
解得或，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件的的值为或；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点抛物线上点，的坐标分别为，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线，交点为，以，为边作矩形．
①求；
②线段与轴相交于点，以为边作矩形，使矩形在轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求的值．
【答案】（1）抛物线的表达式为；
（2）或；
（3）①；②m的值为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可；
（3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解；
②当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴当时，；
当或时，；
①∵，，，
∴当时，，此时，
∴，
∵，
∴点在第四象限，即，
∴，
∴；
②当时，，
当点在第三象限，，
∴，
∴此时点在第四象限，即，
∴，不符合题意，舍去；
当点在第四象限，，
∴，
∵，
∴点在第一象限，即，
解得，
∴；
综上，或；
【小问3详解】
解：①∵点，在抛物线上，
∴，，
如图，当点在第一象限，点在第四象限时，
，，
∴；
如图，当点在第四象限，点在第一象限时，
，，
∴；
②中，，
设，，
∴，
∴，
如图，当点在第一象限，点在第四象限时，
，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去）；
如图，当点在第四象限，点在第一象限时，
同理可知，
此时，
∴，
解得（舍去），．
综上，m的值为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、矩形的性质、线段的中点坐标的表示方法、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
平均数
中位数
众数
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甲
乙
丙
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