2025中考数学三轮冲刺通关预测08 二次函数与解析几何（原卷版+解析版）（福建专用）

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出题概率：☆☆☆☆
考向大胆猜：解答题（25题）
二、【知识回顾】
（1）二次函数的图像与性质
（3）二次函数图像与系数的关系
三、【历年真题】
【真题1】（2021·福建·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P0,1，求a+b的最小值；
（2）已知点P1−2,1,P22,−1,P32,1中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y=kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=−1上，且∠MAN=90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【答案】（1）-1；（2）①y=14x2；②见解析
【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；
（2）①根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】解：因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，
以方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2−4ac=0，即b2=4ac．
（1）因为抛物线过点P(0,1)，所以c=1，
所以b2=4a，即a=b24．
所以a+b=b24+b=14(b+2)2−1，
当b=−2时，a+b取到最小值−1．
（2）①因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点P1(−2,1),P2(2,−1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是P1(−2,1),P3(2,1)在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为x=0，所以b=0，
即ac=0，因为a≠0，所以c=0．
又点P1(−2,1)在抛物线的图象上，所以4a=1,a=14，
故抛物线的解析式为y=14x2．
②由题意设Mx1,y1,Nx2,y2,Ax0,−1，则y1=kx1+1,y2=kx2+1．
记直线y=−1为m，分别过M，N作ME⊥m,NF⊥m，垂足分别为E，F，
即∠MEA=∠AFN=90°，
因为∠MAN=90°，所以∠MAE+∠NAF=90°．
又∠MAE+∠EMA=90°，所以∠EMA=∠NAF，所以△AME∽△NAF．
所以AENF=MEAF，所以x0−x1y2+1=y1+1x2−x0，即y1+1y2+1+x1−x0x2−x0=0．
所以kx1+2kx2+2+x1−x0x2−x0=0，
即k2+1x1x2+2k−x0x1+x2+x02+4=0．①
把y=kx+1代入y=14x2，得x2−4kx−4=0，
解得x1=2k−2k2+1,x2=2k+2k2+1，
所以x1+x2=4k,x1x2=−4．②
将②代入①，得−4k2+1+4k2k−x0+x02+4=0，
即x0−2k2=0，解得x0=2k，即A(2k,−1)．
所以过点A且与x轴垂直的直线为x=2k，
将x=2k代入y=14x2，得y=k2，即B2k,k2，
将x=2k代入y=kx+1，得y=2k2+1，
即C2k,2k2+1，
所以AB=k2+1,BC=k2+1，因此AB=BC，
所以△MAB与△MBC的面积相等．
【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
【真题2】（2020·福建·统考中考真题）已知直线l1:y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A,B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1x1,y1，P2x2,y2，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2:y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3:y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求ΔABE与ΔCEF面积之和的最小值．
【答案】（1）y=2x2−12x+10；（2）详见解析；（3）SΔABE+SΔFCE的最小值为402−40．
【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用CF//AB，得出ΔFCE∽ΔABE，设BE=t0