初中数学人教版（2024）八年级下册平行四边形的性质精品课后复习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册平行四边形的性质精品课后复习题，文件包含专题03平行四边形的性质与判定原卷版docx、专题03平行四边形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
【思维导图】
【平行四边形性质与判定知识清单】
二、【考点类型】
考点1：平行四边形的边，角性质
典例1：（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，若AE=CD=6，BC=3CE，则AC=（ ）
A．63B．10C．37D．35
【答案】C
【分析】先证△ABE是等边三角形，得∠BAE=∠B=60°，过点A作AH⊥BC于H，从而∠BAH= 12 ∠BAE=30°，BH=12BE=3，在Rt△ABH和在Rt△AHC中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=6，
∴AE=BE=AB=6，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠B=60°，
过点A作AH⊥BC于H，
∴∠BAH= 12 ∠BAE=30°，BH=12BE=3，
在Rt△ABH中，
AH=AB2−BH2=33，
∵BC=3CE，
∴CE=BH=EH=3，
∴CH=6，
在Rt△AHC中，
AC=AH2+CH2=332+62=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1】（2024·河南开封·一模）如图，A0,3，B−2,0，C3,0都是▱ABCD的顶点，若将▱ABCD沿x轴向右平移，使AB边的中点E的对应点E′恰好落在y轴上，则点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．6,32B．4,32C．6,3D．4,3
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定D5,3，利用中点坐标公式得出E′0,32，根据三角形中位线的判定确定点E′是线段AO边的中点，继而得到E′0,32，从而确定▱ABCD向右平移1个单位，据此得解．
【详解】解：A0,3，B−2,0，C3,0都是▱ABCD的顶点，
∴AB=CD，AB∥CD，3−−2=5，
即线段AB沿x轴向右平移5个单位得到线段CD，点D是点A的对应点，点C是点B的对应点，
∴D5,3，
∵点E是线段AB边的中点，
∴点E的坐标为−2+02,0+32，即−1,32，
过点E作EF⊥y轴，
∴∠AE′E=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AE′E=∠AOB，
∴EE′∥BC，
∴点E′是线段AO边的中点，
∴E′0,32，
∵将▱ABCD沿x轴向右平移，使AB边的中点E的对应点E′恰好落在y轴上，
又∵E−1,32，0−−1=1，
∴▱ABCD沿x轴向右平移1个单位，
∴D′6,3．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，AB=5，BC=8，DE=4，则AE的长是（ ）

A．53B．310C．55D．45
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和角的平分线定义，得到AB=DC=BE=5，BC=AD=8，EC=BC−BE=3，利用勾股定理的逆定理得到∠DEC=90°，继而得到∠ADE=90°，勾股定理计算即可，本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】∵▱ABCD，AB=5，BC=8，
∴AB=DC=5，BC=AD=8，BC∥AD，
∴∠ADE=∠DEC,∠BEA=∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=5，
EC=BC−BE=3，
∵DE=4，EC2+DE2=9+16=25=DC2
∴∠DEC=90°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=AD2+DE2=45，
故选：D．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）如图，在▱ABCD中，∠B=40°，AB=AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形性质、平行四边形性质、翻折的性质、以及三角形内角和定理，根据等腰三角形性质得到∠ACB=∠B=40°，利用平行四边形性质推出∠DAC=∠ACB=40°，由翻折的性质可知，∠FAC=∠DAC=40°，最后根据∠AEC=180°−∠FAC−∠ACB，即可解题．
【详解】解：∵ ∠B=40°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=40°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
由翻折的性质可知，∠FAC=∠DAC=40°，
∴∠AEC=180°−∠FAC−∠ACB=100°，
故选：C．
【变式4】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠C＝45°；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有 ．
【答案】②④
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，灵活利用平行四边形的性质寻找条件证全等是解题的关键．
利用全等三角形的判定证出△BEH≌△DEC，可得到CE和ED的长短关系，即可判断①；利用角的等量代换可判断②和③；利用平行四边形的性质和全等三角形的性质证出△ABG为直角三角形，再利用勾股定理建立式子即可判断④．
【详解】解：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=∠CFB=90°，
∴∠C+∠CBH=90°，∠BHE+∠CBH=90°，
∴∠BHE=∠C，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠EDB=90°−∠DBC=45°，
∴BE=DE，
在△BEH和△DEC中，
∠BEH=∠DEC∠BHE=∠CBE=DE
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∴CE≠DE，
∴∠C≠45°，故①错误；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
∵BC∥AG，
∴∠G=∠CBG”“＜”或“=”）．
【答案】=
【分析】
此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，先证明△ABC≌△CDA，则S△ABC=S△DCA，同理可证明S△AGM=S△MEA，S△CFM=S△MHC，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=DA，AB∥CD，BC∥DA，∠B=∠D，
∴△ABC≌△CDA，
∴S△ABC=S△DCA．
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴EF∥AB∥CD，GH∥BC∥AD，
∴四边形AGME是平行四边形，四边形MFCH是平行四边形，
同理可证，△AGM≌△MEA，△CFM≌△MHC，
∴S△AGM=S△MEA，S△CFM=S△MHC，
∴S△ABC−S△AGM−S△CFM=S△DCA−S△MEA−S△MHC
即S四边形BFMG=S四边形MHDE．
故答案为：=
【变式7】（22-23九年级上·山西运城·期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过O的两条直线分别交边AB,CD，AD，BC于点E、F，G，H．且AB=3，AD=5，BE=DF=1，当AG= ，使直线EF，GH把四边形ABCD的面积四等分．
【答案】53
【分析】过O作KL⊥AB于点K，交CD于点L，过点O作PQ⊥AD于点Q，交BC于点P，则KL=2OK，PQ=2OQ，由平行四边形的面积求出OKOQ=53，再证S△BOE=S△AOG，然后由三角形面积得OKOQ=AG=53，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质以及三角形、四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质，证明S△BOE=S△AOG是解题的关键．
【详解】解：如图，过O作KL⊥AB于点K，交CD于点L，过点O作PQ⊥AD于点Q，交BC于点P，
由平行四边形是中心对称图形可知，KL=2OK，PQ=2OQ，
∵S平行四边形ABCD=AB⋅KL=AD⋅PQ，
∴3×2OK=5×2OQ，
∴OKOQ=53，
∵S△AOB=14S平行四边形ABCD，S四边形AEOG=14S平行四边形ABCD，
∴S△AOB=S四边形AEOG，
∴S△BOE=S△AOG，
∵S△BOE=12BE⋅OK=12×1×OK，S△AOG=12AG⋅OG，
∴12×1×OK=12AG⋅OG，
∴OKOQ=AG=53，
∵BE=DF=1，
∴当AG=CH=53时，直线EF，GH把四边形ABCD的面积四等分，
故答案为：53．
考点3：平行四边形的判定
典例3：（22-23八年级下·江苏·期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，给出下列4组条件：①AB=CD，②AD=BC，③AD∥BC，④∠ABC=∠ADC．其中，不能得到“四边形ABCD是平行四边形”的条件是 ．（只填序号）
【答案】②
【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可．
【详解】①AB=CD，则一组对边平行且相等，可得到四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②AD=BC，无法得到四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
③AD∥BC，两组对边分别平行，可得到四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
④∠ABC=∠ADC，则此两角都是∠BAC的补角，而∠BAC与∠ABC为同旁内角互补，可推出AD∥BC，两组对边分别平行，可得到四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：②
【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理．
【变式1】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件：①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE．这个条件可以是 ．
【答案】③④
【分析】由平行四边形的判定依次判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC，AD=BC，
如果AF=CF，
则无法证明四边形AFCE是平行四边形，
故①不合题意；
如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=FN，
∵AE=CF，
∴△AME≌△FNC（HL）
∴∠AEM=∠FCN，
∴AE∥FC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，
故②不符合题意；
如果∠BAE=∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故③符合题意；
如果∠BEA=∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故④符合题意；
故答案为：③④
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【变式2】（22-23八年级下·北京·期中）已知,如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件①AB=CD；②AD//BC；③∠BAD=∠BCD；④BO=DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形.你的选择是 .
【答案】②④
【分析】根据平行四边形的判定方法选择两个条件并证明即可．
【详解】选择②④，理由如下：
∵AD//BC ，
∴∠ADO=∠CBO ．
在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB
∴△AOD≅△COB(ASA)
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·河南许昌·期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
【答案】BF=DE（答案不唯一）
【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．
【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：
证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE，
即OF=OE，
四边形AFCE为平行四边形，
故答案为：BF=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【变式4】（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，点E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE,DF=BE,DF∥BE．
(1)求证：△AFD≌△CEB
(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABCD是平行四边形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，平行线的性质与判定；
（1）先由平行线的性质得到∠DFA=∠BEC，再利用SAS证明△AFD≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，进而证明AD∥CB，由此即可证明四边形ABCD是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC
在△AFD和△CEB中
DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，
∴△AFD≌△CEBSAS
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵△AFD≌△CEB
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式5】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接AC，交BD于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴DO−DF=OB−BE，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式6】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE=CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
由已知条件和平行线的性质得出OE=OF，∠E=∠F，由ASA证明△BOE≌△DOF，得出对应边相等OB=OD，即可证出四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵DF∥BE，
∴∠E=∠F，
在△BOE和△DOF中，∠E=∠F OE=OF ∠BOE=∠DOF ，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式7】（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若DE为∠ADC的角平分线，且AD=6，EB=4，求▱ABCD的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)32
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，结合题意可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，根据平行四边形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=∠CDE，推得∠ADE=∠AED，根据等角对等边可得AE=AD=6，求得AB=AE+BE=10，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，且BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=6，
∵BE=4，
∴AB=AE+BE=10，
∴▱ABCD的周长=2×AD+AB=2×6+10=32．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
考点4：平行四边形判定与性质综合应用
典例4：（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE，连接BE，DE，BF，DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若∠BAC=80°，AB=AF，DC=DF，求∠EBF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF≌△CDE，故可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得AB=BE，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出△ABF≌△CDE，再由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF=DE，∠DEF=∠BFA，
∴ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，
∵AB=DC=DF，
∴AB=BE，
∴∠BEA=∠BAC=80°，
∴∠ABE=180°−2×80°=20°，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=12×180°−80°=50°
∴∠EBF=∠ABF−∠ABE=50°−20°=30°．
【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．点F为CA延长线上一点，且FA=12AC，连接FD，FE，AE．
(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；
(2)若∠DEB=∠DEF，求证：EF=EC；
(3)在（2）的条件下，若DE=2，∠C=45°，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BC=6
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键；
（1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形AFDE是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质，证明∠EFC=∠C，即可解决问题；
（3）结合（2）证明△EFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边BA，BC的中点，
∴ DE∥AC， DE=12AC，
∵ FA=12AC，
∴ DE=FA，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（2）∵四边形AFDE是平行四边形，
∴ DE∥AC，DF∥AE，
∴ ∠DEB=∠C，∠DEF=∠EFC，
∵ ∠DEB=∠DEF，
∴ ∠EFC=∠C，
∴ EF=EC；
（3）解：∵ FA=DE=2，
∴ AC=2DE=22，
∴ FC=FA+AC=32，
∵ ∠EFC=∠C=45°，
∴ △EFC是等腰直角三角形，
∴ EF2+EC2=FC2，
EF=EC=22FC=3，
∴ BC=2EC=6．
【变式2】（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在▱ABCD中，DE⊥AC于点E．

(1)尺规作图：作线段BF，使BF⊥AC交AC于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接DF，BE，求证：四边形BEDF是平行四边形；
(3)连接BE，若AD=4，AC=33，∠BCA=30°，则BE=______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）由BF⊥AC，DE⊥AC，可得BF∥DE，再证明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（3）由直角三角形的性质可得BF=2，利用勾股定理求得CF，由（2）可知△ABF≌△CDE，则AF=CE=3，进而求得EF，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求作，

（2）证明：如图，

∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴BF∥DE，
∴∠AFB=∠CED=∠BFE=∠DEF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDEAAS，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵∠BCA=30°，
∴BF=12BC=2，
∴在Rt△BFC中，CF=BC2−BF2=42−22=23，
由（2）知，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=AC−CF=33−23=3，
∴EF=AC−AF−CE=33−3−3=3，
∴在Rt△BFE中，BE=BF2+EF2=22+32=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式3】（2019·云南·一模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=∠ADC，DE⊥AC，垂足为E.DC=4，连接BE.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若ΔADE的面积为83，∠DAC=60°，求四边形ABCD的周长.
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）通过证明∠ADC+∠BCD=180°证明出AD//BC，从而进一步即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）先设AE=x，再利用锐角三角函数求出DE=3x，根据ΔADE的面积为83得出AE与DE的长，最后利用勾股定理求出AD，从而进一步得出周长即可.
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD//BC，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：设AE=x，
∵DE⊥AC，∠DAC=60°，
∴在RtΔADE中，tan∠DAE=DEAE，
∵tan∠DAE=tan60°=3，
∴DE=3x，
∵ΔADE的面积为83，
∴12AE⋅DE=12x⋅3x=83，
∴x=4，
∴AE=4，DE=43，
∴AD=AE2+DE2=8，
∴四边形ABCD的周长为：2AD+DC=2×8+4=24.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
错因分析：第1问，没有掌握平行四边形判定方法；第2问，不能由特殊角及三角形面积求出 的长，进而不能求出四边形周长．
考点5：三角形中位线性质
典例5：（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F，AB=8，BC=12，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边是解题关键．
首先利用中点定义和中位线定理得到BD=12AB=2，DE=12BC=3，DE∥BC,利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，推出BD=DF=4，根据DE−DF可得EF的长．
【详解】∵点D、E分别是边AB、AC的中点，AB=8，BC=12，
∴BD=12AB=4,DE=12BC=6，DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DFB=∠DBF，
∴BD=DF=4，
∴EF=DE−DF=6−4=2，
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在▱ABCD中，∠C=120°，AB=2，AD=2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．3C．1D．32
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理垂线段最短，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
连接AG，则EF=12AG，当AG取最小值时，EF最小，当AG⊥BC时，AG最小，
推出∠BAG=30°，则BG=12AB=1，根据勾股定理可得：AG=AB2−BG2=3，即可解答．
【详解】解：连接AG，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF=12AG，
∴当AG取最小值时，EF最小，
当AG⊥BC时，AG最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=120°，
∴∠B=180°−∠C=60°，
∵AG⊥BC，
∴∠BAG=30°，
∴BG=12AB=1，
根据勾股定理可得：AG=AB2−BG2=3，
∴EF=12AG=32，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，点E为边AC的中点，则DE的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质及判定，解题关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半．延长CD,BA交于点M，根据等腰三角形的性质及判定得CD=DM由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：延长CD,BA交于点M，如图
∵ BD平分∠ABC，CD⊥BD，
∴∠MBD=∠CBD,∠BDM=∠BDC=90°,
∵BD=BD,
∴△BDM≌△BDC,
∴BC=BM,
∴△BCM是等腰三角形，
∴ BC=BM=9，CD=DM，
∵E为边AC的中点，
∴DE是△ACM中位线，
∵AB=5，
∴AM=4
∴DE=12AM=2．
【变式3】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是
【答案】4.5/92/412
【分析】先根据等底同高可得S△AEF=1.5，S△AEG=1.5，S△BCE=6再根据三角形中位线定理可得S△FGE=14S△BCE=1.5，然后根据S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE即可得．
【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D是BC的中点，
∴由等底同高得：S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×12=6，
同理可得：S△ABE=S△DBE=12S△ABD=3，
S△ACE=S△DCE=12S△ACD=3，
S△AEF=S△ABF=12S△ABE=1.5，
S△AEG=S△ACG=12S△ACE=1.5，
∴S△BCE=S△DBE+S△DCE=6，
∵点F是BE的中点，点G是CE的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴S△FGE=14S△BCE=1.5，
则S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE=1.5+1.5+1.5=4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出△FGE的面积，是解题关键．
【变式4】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12AC−AB；
(2)如图 2，探究线段AB，AC，EF之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)EF=12(AB−AC)
【分析】
本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识．
（1）先证明AB=AD，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明AB=AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）
证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴∠BAE=∠DAE,∠AEB=∠AED=90°，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△DAEASA，
∴AB=AD，
即△ABD是等腰三角形，
∵BE⊥AE，
∴BE=DE，
∵BF=FC，
∴EF=12DC=12(AC−AD)=12(AC−AB)．
（2）
解：结论：EF=12(AB−AC)，
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∵∠BAE=∠PAE，
∴∠ABE=∠APE，
∴AB=AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE=PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF=12PC=12(AP−AC)=12(AB−AC)；
故答案为：EF=12(AB−AC)．
【变式5】（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，AD是△ABC的中线，过点C作CE∥DA．
(1)如图1，DE∥BA交AC于点F，连接AE．求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)P是线段AD上一点（不与点A，D重合），PE∥BA交AC于点F，交CE于点E，连接AE．如图2，四边形ABPE是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABPE是平行四边形；理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，由题意可知BD=DC，可证得△ABD≌△EDCASA，进而可知AB=DE，即可证得四边形ABDE是平行四边形；
（2）延长BP，交CE于G，取CG中点H，连接DH，由平行线的性质可得∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，由题意可知DH为△BCG的中位线，先证四边形PDHG为平行四边形，可得DH=PG，进而证得BP=PG，即可证明△ABP≌△EPGASA，可得AB=EP，即可证得四边形ABPE是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵CE∥DA，
∴∠ADB=∠ECD，
∵DE∥BA，
∴∠ABD=∠EDC，
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDCASA，
∴AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABPE是平行四边形，理由如下：
延长BP，交CE于G，取CG中点H，连接DH，

∵CE∥DA，
∴∠APB=∠EGP，
∵PE∥BA，
∴∠ABP=∠EPG，
∵AD是△ABC的中线，点H为CG的中点，
∴DH为△BCG的中位线，
∴DH∥BG，BG=2DH，即DH∥PG
又∵CE∥DA，即GH∥PD，
∴四边形PDHG为平行四边形，
∴DH=PG，则BG=2DH=2PG=PG+BP，
∴BP=PG，
∴△ABP≌△EPGASA，
∴AB=EP，
∴四边形ABPE是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【变式6】（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线AB的中点，M是AC的中点，N是BD的中点．
(1)判断△PMN的形状，并证明；
(2)当AD、BC所在直线存在什么关系时，∠MPN=90°．
【答案】(1)△PMN是等腰三角形，见解析
(2)当AD⊥BC时，∠MPN=90°，见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质；
（1）根据三角形中位线定理可得PM=12BC，PN=12AD，结合已知证明PM=PN即可；
（2）延长DA、BC交于点E，根据平行线的性质得到∠APM=∠ABC，∠APN=∠BAE，结合∠E=90°，即可得到此时∠MPN=90°．
【详解】（1）△PMN是等腰三角形；
证明：∵P是对角线AB的中点，M是AC的中点，N是BD的中点，
∴PM∥BC，PM=12BC，PN∥AD，PN=12AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（2）当AD⊥BC时，∠MPN=90°；
证明：如图，延长DA、BC交于点E，
由（1）得：PM∥BC，PN∥AD，
∴∠APM=∠ABC，∠APN=∠BAE，
∵AD⊥BC，即∠E=90°，
∴∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠APM+∠APN=90°，即∠MPN=90°．
【变式7】（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在四边形 ABCD中，P 是对角线BD的中点，M 是DC的中点，N 是AB的中点，连接PM，PN，若PM=PN，试判断AD与 BC的数量关系，并说明理由．
【答案】AD=BC
【分析】本题考查三角形中位线定理，先证明PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据PM=PN，那么可得AD=BC．
【详解】解：∵P 是对角线BD的中点，M 是DC的中点，
∴ PM是△BCD的中位线，
∴PM=12BC，
∵ N 是AB的中点，
∴ PN是△ABD的中位线，
∴PN=12AD，
∵ PM=PN，
∴ AD=BC．
平行四边形的性质：
因为ABCD是平行四边形
几何表达式举例：
(1) ∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD AD∥BC
(2) ∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD AD=BC
(3) ∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
∠DAB=∠BCD
(4) ∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC OB=OD
(5) ∵ABCD是平行四边形
∴∠CDA+∠BAD=180°
平行四边形的判定：
.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(2) ∵AB=CD AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵∠A=∠B ∠C=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形