江苏省南通市如东县2024-2025学年九年级下学期第一次阶段性练习数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市如东县2024-2025学年九年级下学期第一次阶段性练习数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个选项中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∴最小的数为：；
故选A．
2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. 如意纹B. 冰裂纹
C. 盘长纹D. 风车纹
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意．
故选：D．
3. 如图，四边形内接于，点C是中点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵点C是中中点，∴，
故选：C．
4. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的
C. 大小不变D. 不能确定
【答案】C
【解析】在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变，
∴的正弦值不变，
故选：C ．
5. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴∴，∴，∴，
∵，，∴
∴，∴，
∴或（不合题意，舍去），∴，
故选：C.
6. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，
可得：又由于当时，，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
7. 已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，，
∴，，则点，则点关于原点对称的点的坐标为，
故选：C．
8. 如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
是的直径，，
，，
平分，，
，，，
，，
在中，，
，
切于点，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
故选：B．
9. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，
解得：，
，
，
，
，
如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
由平移的性质可得：点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，解得：，
，
故选：C．
10. 如图，点A是双曲线y=上一点，过A作AB∥x轴，交直线y=-x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD=3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD=，则k的值为（ ）
A. -B. -3C. -2D.
【答案】C
【解析】如图，作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．
∵AB∥DH，
∴∠ABD=∠BDH，
∴tan∠ABD=tan∠BDH=，
设DH=5m，BH=9m，则BH=BE=9m，OD=4m，
∴C（-6m，m），
∴A（-m，9m），
∵△ABD的面积为，
∴m×9m=，
∴m2=，
∴k=-6m×m=-2，
故选C．
二、填空题（第11、12小题每小题3分，第13-18小题每小题4分，共30分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】.
12. 如果正n边形的一个中心角与其一个内角的度数之比为，则______．
【答案】8
【解析】由题意，得：，
即：，
解得：；
故答案为：8．
13. 如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为__________．
【答案】
【解析】连接，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
设扇形围成的圆锥的底面半径为，
则，解得，
∴该圆锥的高为：，
故答案为：．
14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______．
【答案】
【解析】根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
15. 已知二次函数，其顶点纵坐标为，点在该函数图象上，若在点右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到轴的距离为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵二次函数，其顶点纵坐标为，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴抛物线为，
如图，
令，则，解得：，，
∴，，
令，则，
解得：，，
∴，，
∵点在该函数图象上，在点右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到轴的距离为，
∴.
16. 如图， O是正六边形的中心，，点M， N分别为，的内心， 则长为________．
【答案】
【解析】连接，，，过作于，
∵O是正六边形的中心，，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵点M为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，∴，，
∴，，
∵，∴，解得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图象上，则点B的坐标为__________．
【答案】（，0）
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，CG⊥OB于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，
设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0），
∵△ABC是等边三角形，∴D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵，CD⊥AB，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠AED=∠CFD=90°，
∴△AED∽△DFC，
∴，即，
整理，可得，
由①②，解得，（舍去），，
∴当△ABC是等边三角形时，点B的坐标为：（，0）．
18. 如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为______．
【答案】9
【解析】当点A在点P右侧时，如图，过点A作于点G，延长交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，，（），
∴，，
过点C作于点D，交于点E，
由题意得，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴四边形为矩形，
同理，四边形也为矩形，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值，
∵，
∴时不符合题意舍去，
∴时，取得最大值为8，
∴，
∴，
∴与之间最大距离为；
当点A在点P左侧时，延长交于点D，过C点作，垂足为G，取中点E，连接，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设A点到的距离为h，
∴，
∴，
∴与之间的距离为，
∵，
∴与之间的距离最大值为9，
综上可得：与之间的距离为9．
故答案为：9．
三、解答题：（共8小题，共90分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2），
，
，
，
或，
∴，．
20. 某校在校门口设置了如图左，中，右3道检测体温通道，师生每天进入学校要从测温通道自觉接受体温检测，现有佳乐，三立两位同学要随机通过通道进行体温检测．
（1）佳乐同学选择中间通道的概率为______；
（2）请用树状图或列表法求佳乐与三立两位同学都通过同一通道的概率．
解：（1）共三种等可能情况，
故佳乐同学选择中间通道的概率为．
（2）用树状图表示如下：
共有9种等可能情况，
佳乐与三立两位同学都通过同一通道的情况有3种，
故其概率为．
21. 已知二次函数 （m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点；
（2）求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方．
证明：（1）令，则，
∴
，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴二次函数与y轴的交点坐标为，
∵当时，，
∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方．
22. 如图，已知内接于，以、、为顶点在上方作，且边与相切于点，连接并延长交于点，对角线与相交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的面积．
（1）证明：边与相切于点，，
四边形是平行四边形，，
，，，
在和中，，
（），
，；
（2）解：过作交于，
，，
，
，
，
，，
，，
解得：，，，
．
23. 风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆的高度进行了测量．塔杆安装在斜坡上，且垂直于地面．利用无人机分别在点和点处观察塔杆的顶端，发现恰好满足，．已知点在点的正上方，，米，斜坡的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）
解：如图，延长，交延长线于点，
由题意得：，
∵斜坡的长为10米，其坡度为2，
∴，
设米，则米，
∴，
∴（米），
∴米，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
∴（米），
又∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：该风力发电机塔杆的高度约为23米．
24. 巴中市某中学为增强学生运用数学知识解决实际问题的能力，该校九（1）班同学进行了一次市场调查，收集整理了一种进价每件20元的商品在第x（）天售价与销量的相关信息，得到如下统计表．
（1）求这种商品每天销售利润y（元）与时间x的函数解析式；
（2）销售第几天，当天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）在销售过程中，每天销售利润大于2250元共有多少天？
解：（1）当时，
；
当时，
．
综上，每天销售利润y（元）与时间x的函数解析式为；
（2），
∵，
∴当时，y有最大值为4050元，
即当时，销售第35天，销售利润最大，最大利润为4050元；
，
∵，∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y取得最大值为元，
即当4时，销售第40天，销售利润最大，最大利润2400元，
综上，销售第35天，销售利润最大，最大利润为4050元．
（3）当时，
令，则，
解得：或，
∵，∴，
∵中，时，y随x的增大而增大，
∴时，每天销售利润大于2250元；
即当，7，8...，...，39，共34天每天销售利润大于2250元；
当时，，
解得：，
∵的整数，
∴，41，42，共3天每天销售利润大于2250元，
综上，在销售过程中，每天销售利润大于2250元共有37天．
25. 已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．
（1）如图，如果，求线段的长
（2）过点E作，垂足为点G，与交于点H．
①求证：；
②设的中点为点O，如果，求的值．
（1）解：如图，连接交于点M．
由题意可知，
∴在和中，，
∴，∴，，
，∴垂直平分，
∴，∴，
∵，，，
，
，
∴，
解得：，
；
（2）①证明：如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，
在正方形中，，，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
②解：过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，
，，
，
，
，
在正方形中，
易证是正方形，，，
，，
由（1）可知垂直平分，
，
如图，当H在上时，
，，
由①可知，，
设,则，，
，，，，，
在与中，
，
设，
，∴，解得，
在中，，∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
如图，当H在上时，
，，
由①可知，，
设,则，，
在与中，
，
设，
，，，
∴，解得，
在中，
，∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述：或．
26. 综合与实践：
【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．
【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________；
（4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围．
解：（1）①若，则；
②y关于x的函数关系式为；
故答案为：3；；
（2）由题意可知，当时，点与点重合，
∴，此时，
连接，
由题图（2）可知点与点重合时，，即，
在中，，即，
∴（负值已舍），
当点在上运动时，，
∴，
∴在中，，
∴，
即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为；
（3）当时，，
则时，，
解得（舍去）或（舍去）；
当时，，
则时，，
解得或；
当时，，此时，
当时，，此时，
∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或；
故答案为：0或1；或；
（4）由（2）知，，，
又∵D为的中点，
∴，
取的中点，连接，
∴，是的中位线，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合，
点在线段(不含点)上运动时，点在内部，
当点运动到点处时，，此时；
当，；
∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．时间x（天）
售价（元/件）
50
每天销量（件）