浙江省杭州市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
2. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】将代入原方程得：，
解得：，
∴k的值为．
故选：D．
3. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
移项得，，
等式两边同时加上1得，，
∴，
故选：B．
5. 在平行四边形中有一个内角为，则的度数为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】平行四边形的一个内角为，它的对角度数是，它的邻角为．
故选：D．
6. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. 560（1＋x）2＝315B. 560（1－x）2＝315
C. 560（1－2x）2＝315D. 560（1－x2）＝315
【答案】B
【解析】根据题意，设每次降价的百分率为x，
可列方程为：．
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，
根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，
故选：C．
8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
9. 为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，可得．
故选：D．
10. 如图，在中，是对角线上一点，连接．若的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
，故B正确，不符合题意，
，，
，
，故C正确，不符合题意；
如图，作于，于，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，故A正确，不符合题意；
只有当时，，故D错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11. 式子有意义，则实数a的取值范围是_________．
【答案】且
【解析】∵式子有意义，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
12. 若一个正多边形的每一个外角等于与之相邻内角的，则这个多边形的边数为_________．
【答案】正十边形
【解析】一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的，
它的每一个外角，
它的边数．
故答案为：正十边形．
13. 甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表．
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S甲2，S乙2，结果为：S甲2_____S乙2．（选填“＞”“=”或“＜“）
【答案】＜
【解析】，
，
，
，
则﹤．
故答案为：﹤．
14. 如图，在中，点D，点E分别是边，的中点，若，，则_____．
【答案】4
【解析】在中，，，，
则，
∵点D，点E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
15. 随着科技的提高，某种电子产品的价格呈现下降趋势，今年年底的价格是两年前的，设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为______．
【答案】
【解析】设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降，
根据题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降．
故答案为：．
16. 如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为______
【答案】8
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：8．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
19. 某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
（2）请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
（3）乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
解：（1）把甲班的成绩从小到大排列为：，，，，，
最中间的数是，则中位数是；
乙班的成绩中出现次数最多，故乙班的众数是；
故答案为：；
（2）从平均数看，因两班平均数相同，则甲、乙班的成绩一样好；
从中位数看，甲的中位数高，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的分数高，所以乙班成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定；
（3）因为乙班的成绩的中位数是8，所以小明的成绩是8分，则小明是5号选手．
20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标（不需要写过程），并画出相应的平行四边形．
解：如图1所示，
设点D的坐标为，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
同理可求得剩下图2，图3，图4，图5，图6中点D的坐标分别为：，
综上所述，或或．
21. 如图，在▱ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC+∠BCD=，
∵PM//DC，且PM=DC，
∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM=，
∴∠ADP=∠BCM，
∴△ADP≌△BCM；
（2）解：如图，作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABC≌△CDA，
∴BH=DG，
∴，
即，
，
即，
∵△ADP≌△BCM，
∴，
∴=．
22. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）在中，令得，，
故答案为：；
（2）根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3），
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
23. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
解：（1）
，
无论取何实数，都有，
，
即的最小值为；
故答案为：；
（2），
，，
无论取何实数，二次根式都有意义；
（3），
四边形的面积，
，
，
四边形的面积
，
，
当，四边形的面积最大，最大值为．
24. （1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若试判断的形状，并进行证明．
证明：（1）的中点，是的中点，
．
同理，，
，
，
．
（2）的中点，是的中点，
，
，
同理，．
由（1）可知，
．
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，．
同理，，．
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
又，
，
，
．
是直角三角形．
故答案为：是直角三角形．甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
平均数
众数
中位数
方差
甲班
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
8
1.6