浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2. 样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】2、、3、4的平均数是3，
，
，
故选：C．
3. 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】①是二次根式，符合题意；
②不是二次根式，不符合题意；
③不是二次根式，不符合题意；
④（x≤3）是二次根式，符合题意；
⑤不一定是二次根式，不符合题意；
⑥不是二次根式，不符合题意；
⑦（ab≥0）是二次根式，符合题意，
∴二次根式一共有3个，
故选：B．
4. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设这个多边形的边数是，
∵一个多边形的内角和是它的外角和的倍，
∴，解得：，
∴这个多边形的边数是8，
故选：B．
5. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，故不是最简二次根式，此选项符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
6. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
移项：，
配方：，
即：，
故选：C．
7. 若是方程的根，则的值为（ ）
A. 2021B. 2024C. 2027D. 2030
【答案】C
【解析】∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，
因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．
因此，用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D．
9. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
10. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，
且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；
③；④；其中成立的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵，
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴，故④正确．
故选：C．
二、填空题
11. 当时，二次根式的值是________．
【答案】1
【解析】当时，，
故答案为：1．
12. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按2∶3∶5的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是85分、90分和96分，那么他本学期数学学期综合成绩是_________分．
【答案】92
【解析】依题意得本学期数学学期综合成绩是：
（分）．
故答案为：92．
13. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围________．
【答案】
【解析】当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为一元二次方程，则，
∴，
∴且；
综上所述，，
故答案为：．
14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______．
【答案】3
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若，则的周长是________．
【答案】9
【解析】∵P、M、N分别是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
故答案为：9．
16. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点A出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】或或
【解析】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ，
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若时，BP=2t，
PC=3-2t，AQ=t，
此时3-2t=t，解得t=1；
若时，BP=2t，
PC=2t-3，AQ=t，
此时2t-3=t，解得t=3；
若时，BP=2t，
PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，
此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；
若t，BP＝2t，PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，
此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：1或3或13．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
．
（2）
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为
（1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标．
（2）求的面积？
解：（1）如图，即为所求；
．
（2）的面积为．
20. 如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
21. 有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99；
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102．
（1）分别计算两组数据的众数、中位数；
（2）通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．
解：（1）甲中数据从小到大排列为：98，98，99，99，100，100，100，101，102，103，
故甲的中位数是：，甲的众数是100，
乙中数据从小到大排列为：97，98，98，100，100，100，101，101，102，103，
故乙的中位数是：，乙的众数是100；
（2）∵甲的平均数为：；
乙的平均数为：；
∴甲的方差为：
；
乙的方差为：
，
∵，
∴选择甲种包装机比较合适．
22. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程两个根都是正整数？
（3）若△ABC两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
解：（1）∵，
∴
=
=4>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵，
∴，
∴，，
∵方程的两个根都是正整数，且方程有两个不相等的实数根，
∴是正整数，且，
∴m=2或者m=3．
（3）∵△ABC是等腰三角形，BC的长为5，
∴当AB=BC，或AC=BC时，5是一元二次方程的根，
即，
∴m=，
当AB=AC时，
∵AB、AC的长是这个方程的两个是实数根，
由（1）可知方程有两个不相等的实数根，
∴此种情况不存在，
∴m=．
23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，
，
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）______________；
（2）化简；
（3）若，求的值．
解：（1），
故答案为：．
（2）原式＝
；
（3），
a−2＝，
∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5．
∴a2−4a＝1．
∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3
＝a2×1−4a＋3
＝a2−4a＋3
＝1＋3＝4．
24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？
（3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
点A的坐标为，点B的坐标为．
∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，
（2）根据题意得：，
∴，
即：，
∵，，，，，，
∵，
∴，，
∴，，
，解得：，
故答案为：当点P运动4秒时，面积是平行四边形的一半，
（3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
此时轴，轴，，，，，
根据平行四边形的性质，可知，，
∴，即，，即：，，即：，
故答案为：点M的坐标为或或．