浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】A
【解析】∵抛物线开口向下，∴，
即符合要求的为，
故选：A．
2. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5，
∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故选：C．
3. 用五个相同的小立方体搭成以下几何体，其中主视图与其他3个不同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项几何体的主视图为
B选项几何体的主视图为
C选项几何体的主视图为
D选项几何体的主视图为
∴几何体的主视图中与其他三个不同的是D选项．
故选：D
4. 已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】∵直线与相交，
∴圆心到直线的距离小于，
符合要求的为4，
故选：A．
5. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是，
故选：B.
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
B. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线
C. 位似图形一定是相似图形
D. 若是线段的黄金分割点，，则
【答案】C
【解析】A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题；
B、垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，原命题是假命题；
C、位似图形一定是相似图形，原命题是真命题；
D、已知点为线段的黄金分割点，且，若，则，原命题是假命题；
故选：C．
7. 如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 2
【答案】B
【解析】连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点，
则由“三线合一”知，，，
∴在中，米，∴米，
故选：D．
9. 复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（ ）
A. 方法①，方法②都错误B. 方法①，方法②都正确
C. 方法①错误，方法②正确D. 方法①正确，方法②错误
【答案】B
【解析】方法①中，如图：
∵，∴，∴，
∵点是的中点．∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
方法②中，如图：
∵点是的中点．∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，∴，
即，故A选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
故B选项不符合题意；
当时，则，∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，∴，
即，故C选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
故D选项符合题意；
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 已知二次函数，当时，函数值_____．
【答案】0
【解析】依题意，把代入，
得，
故答案为：0.
12. 计算__________.
【答案】1
【解析】.
13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是，
∴相似比为，∴的对应点的坐标是，
故答案为：．
14. 如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为_____．

【答案】6
【解析】，都是圆的切线，，
同理，，
的周长，
；
故答案为：6．
15. 如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中， ，
∴， ∴，
∴矩形是正方形，∴，
∵， ，∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
16. 如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为_______．
【答案】7
【解析】过点A作，交于点E，连接，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
过点E作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即圆的半径为7；
故答案为7．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知线段满足，且．
（1）求线段的长．
（2）若线段是线段的比例中项，求线段的长．
解：（1）∵，
设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
18. 已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
解：游戏一：∵已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，
∴摸出1个球，且摸出一个球是红球的概率是：．
即甲同学获胜的概率为；
游戏二：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：．
即甲同学获胜的概率为．
19. 如图，在中，已知弦相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，的半径为4，求的长．
（1）证明： ，，
，，；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
20. 如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（1）证明：∵，∴，
∴，
即，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴．
21. 在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）．
（1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）．
（2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：）
解：（1）过点作， 垂足为，
由题意得： 米， ，
在中，，
(米) ，
米，
∴两幢楼房之间的水平距离为米；
（2）在中，米，
（米) ，
∵米，
(米)，
∴对面这幢楼房的高度约为米.
22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）．
【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值．
（1）证明： 连接，并延长交于点，连接，
∵与相切于点，
∴， 即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即；
（2）解：如图， 延长交于点， 连结， ，
∵的半径为，，
，
由（1）可知，，
，
整理得 ，
解得或(舍去)，
∴的值为.
23. 已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
（1）求的值．
（2）若二次函数的图象经过点，求的最小值．
（3）若二次函数在时，，求的取值范围．
解：（1）∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3），
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时， ，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
24. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
（1）若，请直接写出，的度数．
（2）求证：是的切线．
（3）若平分，求长．
（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．项目
游戏一
游戏二
摸球规则
摸出1个球
先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则
若摸出红球，则甲胜
若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜
若摸出两球颜色不同，则乙胜