广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知，则的虚部为，08，1， 函数， 已知的二项式系数和为64，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】，所以的虚部为2，
故选：D．
2. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】，
，
故选：C.
3. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ）
A. 2.03B. 2.21C. 2.12D. 3.55
【答案】B
【解析】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，
，取第五位数据2.21，
故选：B．
4. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为
又过点，所以直线方程，整理可得.
故选：D.
5. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为基底，则，，
则，
，
，
所以，
则直线所成角的余弦值为.
故选：A.
6. “，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线可知渐近线方程为，
因为，所以，
在中，，，可得.
即，
则
又因为点在渐近线上，所以，解得，可得.
故选：B.
8. 函数.若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
关于对称.
当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，
关于对称在为减函数，
，，
.
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的二项式系数和为64，则（ ）
A.
B. 常数项是第3项
C. 二项式系数最大值为20
D. 所有项系数之和等于1
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确；
对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误；
对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确；
对于D，令则系数和为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知数列满足，则（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若数列满足，记为的前项和，则
【答案】ABD
【解析】由递推公式得，，构造新数列得，，
所以是公比为3，首项为3的等比数列，
所以，
所以，故A正确，C错误；
因为，所以数列前项和为：，
所以，故B正确；
由得，，
所以，故D正确；
故选：ABD．
11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A. 坐标为
B. 当时，
C. 若，则
D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
【答案】ABD
【解析】对于A，抛物线：，焦点坐标，故A正确；
对于B，设，
由题意知，直线斜率不零，设直线，
，
可推出：，
，
所以，解得，
所以，故B正确；
对于C，，
因为，
所以，，故C错误；
对于D，设，设直线，同理推出，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）.
【答案】
【解析】因为，
所以，，
则在上的投影向量为：.
故答案为：.
13. 已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图，过点作平面的垂线，则点是的中心，
正四面体内半径最大的球为内切球，
根据正四面体的性质，其内切球球心和外接球球心都在垂线上，设为点，为外接球半径，为内切球半径.
在中，，
，，则，
所以，解得，
所以内切球表面积.
故答案为：.
14. 已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】，
设，则，令，
，
当，则，
所以，得，则在单调递减，
当，则，
所以，得，则在单调递增，
所以，即，
所以恒成立，
只需大于的最大值，
令，
则，
可得，则的最大值为，
所以，
因为，则，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值；
（3）若的面积为为的中点，且，求的长．
解：（1），
又据余弦定理，∴，
．
（2）由及已知得，
又，
，
，当且仅当时，等号成立，
故的周长最大值为．
（3），则，
，
则，解得，
∴，
又为的中点，
，又
由勾股定理得．
16. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
（1）求乙同学总得分为40分的概率；
（2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
（3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
解：（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件，
则，且
.
（2）由题可知
甲总得分的分布列：
.
（3）甲获胜的概率为，
乙获胜的概率为，
因为，
所以甲获胜概率更大.
17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为中点.

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
（1）证明：
取的中点，连接.
三点分别为的中点
在平面中，，
又平面平面平面
同理，，平面平面，所以平面，
又平面平面，
平面平面，
平面平面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面,
所以，平面.
过作的平行线，过作交于点.
以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
梯形中，，，
所以，则.
所以.
假设在上存在点使得，设，
设，则，解得.
因为，
所以，解得.
，
因为平面平面，故取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
.
所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆为的右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）已知点，点为外一点，直线交于两点，
（i）为原点，若，求直线的方程；
（ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积．
解：（1），
，
可得椭圆方程：．
（2）（i）设直线的方程为：，点，
则，
则，
由题，可得：，
则，
，
则直线的方程为：或．

（ii）①当直线斜率为0时，不妨设，
则，，
所以，
；
②当直线斜率不为0时，设，
由（i）得，
，
则，
，
，
所以点在定直线上，平行直线，点到直线的距离，
，
综上可知，的面积为．

19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
（1）判断函数的凹凸性；
（2）若，令，求的最小值；
（3）为（2）问所得结果，证明不等式：．
解：（1）由题，，即，
所以为的凸函数．
（2）设函数，则，
，所以在为“凹函数”，
当时，，
即，
当且仅当时，等号成立，
最小值．
（3）即证，
两边取对数，即证：，
的导数为，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以，
累加可得：，证得不等式成立．
0
20
40
60