广西桂林市2025年高考数学第一次跨市联考试卷（含解析）

这是一份广西桂林市2025年高考数学第一次跨市联考试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知|1+i|2z=3+4i，则z的虚部为( )
A. −32iB. −32C. 2iD. 2
2.已知各项均为正数的等比数列{an}，a7=4，则lg2a3+lg2a11=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据(CVB)显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次(亿)分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08.则这组数据的第25百分位数为( )
A. 2.03B. 2.21C. 2.12D. 3.55
4.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,−1)且与l垂直的直线方程为( )
A. x−2y−3=0B. x−2y+1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−1=0
5.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则直线DC1，B1C所成角的余弦值为( )
A. 216B. 76C. 314D. 3 2114
6.“∃x∈R，使ax2−4x−3>0”的一个充分不必要条件是( )
A. a≤0B. a0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2F2A=AB，OA⊥AB，则E的离心率为( )
A. 2B. 3C. 5D. 102
8.函数f(x)=ln|1−x|+ex2−2x，若a=f(23)，b=f(32)，c=f(lg23)，则a，b，c的大小关系是( )
A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2x−1x)n的二项式系数和为64，则( )
A. n=6B. 常数项是第3项
C. 二项式系数最大值为20D. 所有项系数之和等于1
10.已知数列{an}满足a1=12，an+1=an2an+3，n∈N*，则( )
A. a3=126
B. 若1a1+1a2+1a3+⋯+1an=36，则n=3
C. an=3n−1
D. 若数列{bn}满足bn3n=anan+1，记Sn为{bn}的前n项和，则Sn=14−12⋅3n+1−2
11.已知抛物线E：x=14y2的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为M，过F的直线与E分别交于A，B两点，则以下选项正确的是( )
A. F坐标为(1,0)
B. 当MA⊥MB时，|AB|=4
C. 若|AF|⋅|BF|=16，则S△MAB=8 2
D. 过点F作与AB垂直的直线与E交于C、D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1,2),b=(3,−2)，则b在a上的投影向量为______(用坐标表示)．
13.已知正四面体P−ABC中，AB=2 3，则该四面体内半径最大的球的表面积为______．
14.已知函数fn(x)=sinnx+csnx，其中n=2k，k∈N*，记函数f2k(x)的最小值为ak，若∀λ>0，∀k∈N*，都有2λ2−tλ+2>ak(2k−1)，则t的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=(a+c)2−ac．
(1)求B；
(2)若b=3，求△ABC的周长的最大值；
(3)若△ABC的面积为 3，D为AC的中点，且|AC|=2 3，求BD的长．
16.(本小题15分)
某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为45,12,23，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立．
(1)求乙同学总得分为40分的概率；
(2)用X表示甲同学的总得分，求X的分布列与期望；
(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大．
17.(本小题15分)
如图，梯形ABCD中，O为DC上一点，AB=2，AD=2，AO=2 3，且AO⊥AD，AO/​/BC，将△DAO沿着AO翻折至PAO所在位置，使得平面PAO⊥平面ABCO，连接PB，PC，得到四棱锥P−ABCO，E为PB的中点．

(1)若F为AO的中点，证明：EF/​/平面POC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得OM⊥AB，若存在，求直线BM与平面PAO所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F为C的右焦点，短半轴长为1，A为C上动点，|AF|的最小值为2− 3．
(1)求C的方程；
(2)已知点M( 3,1)，点P为C外一点，直线PF交C于Q，R两点，
(i)O为原点，若|OQ+OR|=|OQ−OR|，求直线PF的方程；
(i)记直线MQ，MR，MP的斜率分别为k1，k2，k3，若k1−k2k3−k2=2，求△PFM的面积．
19.(本小题17分)
对∀x1，x2，⋯，xn∈[a,b]，若函数f(x)在[a,b]有不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凹函数”，反之，若不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≥f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凸函数”，当且仅当x1=x2=⋯=xn时等号成立.也可理解为若函数f(x)在[a,b]上可导，f′(x)为f(x)在[a,b]上的导函数，f″(x)为f′(x)在[a,b]上的导函数，当f″(x)≥0时，函数f(x)是在[a,b]上的“凹函数”，反之，当f″(x)≤0时，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凸函数”．
(1)判断函数f(x)=ln(x+1)−x(x>0)的凹凸性；
(2)若xi>0(i=1,2,⋯,n),i=1nxi=1,令h(x)=x1 1−x1+x2 1−x2+⋯+xn 1−xn(n≥2)，求h(x)的最小值an；
(3)an为(2)问所得结果，证明不等式：(n−1)an20，
当a=0时，−4x−3>0，解得x−34，即−340成立时：a>−34，
结合选项可得“∃x∈R，使ax2−4x−3>0”的一个充分不必要条件是：a≥1．
故选：C．
求出命题的等价条件，结合选项即可求解结论．
本题考查充分不必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：
由双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可知渐近线方程为y=±bax，
因为2F2A=AB，OA⊥AB，所以OA⊥AF2在RtΔOAF2中，|OF2|=c，tan∠AOF=ba，∴|AF2|=b，|AO|=a，
可得A(a2c,abc).∵2F2A=ABF1A=AB，
即(xA−c,yA)=(xB−xA,yB−yA)，则xB=3xA−2c=3a2−2c2c，
yB=3yA=3abc，又因为点B在渐近线y=−bax上，所以3abc=−ba×3a2−2c2c，解得c2=3a2，可得e=ca= 3．
故选：B．
根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点A坐标，利用向量的坐标运算得到点B坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率．
本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln|1−x|+ex2−2x=ln|1−x|+e(x−1)2−1，
则f(2−x)=ln|1−x|+e(x−1)2−1=f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(23)=f(43)，
在区间(1,+∞)上，f(x)=ln(x−1)+e(x−1)2−1，易得f(x)在(1,+∞)上为增函数，
又由43f(43)=f(23)，即c>b>a．
故选：A．
根据题意，分析f(x)的对称性和单调性，结合对数的运算性质可得43f(0)=0⇒ln(x+1)