2025年高考第三次模拟考试卷：数学（北京卷 01）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（北京卷 01）（解析版），共20页。试卷主要包含了若双曲线过点，则的离心率为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故.
故选：B.
2．已知为虚数单位，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由，化简得
所以.
故选：C
3．若直线被圆所截得的弦的长度为，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据条件计算圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得结果.
【详解】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.
∵弦长，
∴圆心到直线的距离，即点到直线的距离为2，
∴，解得或.
故选：C.
4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
5．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ）
A．60B．C．448D．
【答案】A
【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值.
【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，
则展开式通项公式是，
令，得，∴的系数为，
故选：A.
6．若双曲线过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将点代入可得，即可根据离心率公式求解.
【详解】将代入可得，故，
所以故，
所以离心率为，
故选：A
7．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196B．197C．198D．227
【答案】D
【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项.
【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：，
即
可知，，,
累加即可得到，
则，则
故选：D.
8．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
【答案】B
【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论.
【详解】设截面与圆柱底面的距离为，
该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为，
由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为，
所以，圆环的面积为，故，
故选：B.
9．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（ ）（参考数据：）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为，设第个正方形的面积为，得到，求得，再由求解.
【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为，
所以其公比为．
设第个正方形的面积为，则，
当时，，所以，
由，得，
所以，
即，
所以，所以．
故选：C．
10．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解.
【详解】因为，作出函数的图象，如图所示，

所以当时，；当时，，
故函数的值域为.
设，若存在，使得成立，即，只需，
即对于，满足成立，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及单调性可求参数的值.
【详解】由题设有，解得，
故答案为：2
12．已知，且，则 ．
【答案】
【分析】先求出，由，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由，得，
因为，所以，
则.
故答案为：.
13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解.
【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ，
则P到y轴的距离为，
由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，
即，化简得.
故答案为：.
14．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 .
【答案】 10 52
【分析】利用余弦定理建立方程求出；取中点，借助线段和差关系求出取最大值的条件，再利用三角形面积公式计算得解.
【详解】在中，由余弦定理得，
即，整理得，而，解得，
取中点，连接，由点是的中点，得，，
在中，，，
，则，，当且仅当共线时取等号，
因此当取得最大值时，，，，
所以四边形的面积.
故答案为：10；52
15．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是（ ）
①．双纽线的图象关于原点对称
②．双纽线的方程为
③．双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
④．若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为
【答案】①③④
【分析】设双纽线上的动点，直接根据题意化简即可判断②；由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断①；利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断③；联立直线与双纽线研究方程根的情况即可判断④．
【详解】设双纽线上的动点，由，
得，即，
整理得：，故②错误；
将方程中的换为，换为，方程不变，
即双纽线的图象关于原点对称，故①正确；
设动点，则，即，故③正确；
直线恒过原点，且双纽线经过原点，则直线与曲线至少一个公共点，
又直线与双纽线只有一个公共点，故除原点外无其他公共点，
联立，消得，
当，即时，方程仅一解，满足题意；
当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，
当时，方程化简得，
当，即或时，方程无解，满足题意；
综上实数的取值范围为，故④正确.
故选：①③④.
解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（满分13分）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据中位线的性质得到，然后得到四边形为平行四边形，根据直棱柱的性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空间向量的方法求线面角；
解法二：根据线面角的定义得到即为直线与平面所成角，然后求线面角；
解法三：利用等体积的思路得到点到平面的距离，然后求线面角.
【详解】（1）

取中点，连接，
因为，所以，
为的中点，所以为的中位线，所以，
又，所以四边形为平行四边形，有，
又因为平面平面，则，
由于平面，所以平面，
又因为，所以平面．分
（2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
在中，由余弦定理可得：，则，
于是，
则，
设平面，
于是，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，
那么，
即直线与平面所成角的正弦值为．分

解法二：在中，由余弦定理可得：，则，
如图，连接，由（1），平面平面，则，
又因为，四边形为正方形，为的中点，，
由于平面，则平面，
如图，记，过点作，连接，
由于平面平面，则，
又因为平面，则平面，
所以即为直线与平面所成角，由于，
则，
由于，则为的三等分点，则，
于是，
即直线与平面所成角的正弦值为．分

解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则，
在中，，则，
过作交的延长线于，易得，
且易证平面，
由于，则，
在中，，且，
又，则．分

（满分13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；
(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案；
（2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案；
（3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求.
【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；分
（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；分
（3）依题意，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
随机变量的期望分
18．（满分14分）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数，_____．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式.
（2）首先根据三角函数的变化规律得到的解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图像与在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）．
（1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴，
且的最小值为，则，解得，则．
若选条件②，则，则．
因此．又，所以，则．
若选条件③，对任意的，
则有，解得，
又，所以，则．分
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，
纵坐标不变，得到图象．
由，得．
即函数的单调递增区间为，
又，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因为，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或．分
19．（满分15分）已知函数（其中）．
(1)当时，求的单调区间；
(2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可；
（2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）将代入函数中，，由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为分
（2）任意都有成立，
即，即，
令，则，
令，，
在上恒成立，即在上单调递增．分
又，，故在内有零点，设零点为，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
且，则，所以，
设，，，所以在单调递增，
所以，，，即，所以，
所以最小值，所以，即实数a的取值范围是．分
20．（满分15分）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.
(1)求的标准方程；
(2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.
①求的大小；
②求四边形面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)①；②3.
【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可.
（2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则，
而点到的距离的取值范围为，
因此，解得，，
所以的标准方程为分
（2）①由（1）知点，设直线的方程为，，
由消去得，
，，
则，线段的中点，
直线的斜率，直线交直线于点，
因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直，
所以分
②由①知，
，
直线的方程为，同理得，
因此四边形的面积，
而，当且仅当，即时取等号，
则，
所以四边形面积的最小值为分
21．（满分15分）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列．
(1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值；
(2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性；
(3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？
【答案】(1)，
(2)证明见详解
(3)能，理由见详解
【详解】（1），分
（2）采用数学归纳法证明，
当时，，显然存在，
假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得，
当时，设是满足的最大正整数，则，
因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾），
且由归纳假设可以表示成的形式，
其中互不相邻且与也不相邻（因为，
所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和；分
再证明唯一性：假设，
不妨设，
设，
根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定，
从最大项开始分析，若，不妨设，则，
因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以，
去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且；分
（3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合，
根据－数列的递推公式，
则，，，
,，
以此类推可得，
然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推，
则是以4为首项的数列构成的集合，即，
再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,，
那么是以7为首项的数列构成的集合，即，
按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有，
因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列，分
综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列分
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1
9
8
7
6
5
4