2025年高考第二次模拟考试卷：数学（北京卷）01（解析版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（北京卷）01（解析版），共17页。试卷主要包含了已知，则是成立的，已知直线与圆相交于两点，则，在中，若，则，已知函数，则下列结论正确的是，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】全集，
故选：D.
2．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可.
【详解】，
的虚部是
故选：C
3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，即可得到答案.
【详解】抛物线的焦点为F的坐标为，准线为：，
由点P到的距离为3，可知到轴的距离是2.
故选：A
4．已知，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别由与确定x的值，据此可判断选项正误.
【详解】当时，，
当时，.
当时，；
当时，与不垂直.
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
则.
故选：C.
6．在中，若，则（ ）
A．25B．5C．4D．
【答案】B
【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解.
【详解】因为在中，，
所以由余弦定理可得：
，所以.
故选：B
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．单调递增且是偶函数B．单调递增且是奇函数
C．单调递减且是偶函数D．单调递减且是奇函数
【答案】B
【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断.
【详解】由，其定义域为R，关于原点对称，
，所以是奇函数.
又，
因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且，
所以在R上单调递减，则在R上单调递增，
那么在R上单调递增.
故单调递增且是奇函数.
故选：
8．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可．
【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，
则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时，
有，整理得．
因为，，，，则D选项更接近.
故选：D．
9．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据已知条件列不等式，由此quiet正确答案.
【详解】设经过年后，人数翻一倍，
则，
两边取以为底的对数得，
所以，
所以至少经过年后，该景区的旅游人数翻一倍.
故选：B
10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知的最大值为，且，求得，结合图像即可得结果.
【详解】当时，在内单调递减，
则，且；
若在上的值域为，
则在上的最值点在内，
可知的最大值为，且，可得，
令，解得或，
结合的图像可知实数的取值范围是.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程.
【详解】由双曲线，可得，
所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：.
故答案为：.
12．在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.
【详解】在中，由，，得，
由正弦定理得，.
故答案为：
13．在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数.
【详解】在的展开式中，所有项的系数之和为，
展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中含项的系数为.
故答案为：；.
14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 .
【答案】 /
【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值.
【详解】设，
则
，
即，而不共线，因此，
所以，即；
由的面积为，得，解得，
因此
，当且仅当时取等号,
所以的最小值为.
故答案为：；
15．已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是（ ）
①．数列0，0，1，1，，是包容数列
②．任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
③．若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5
④．由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0
【答案】①③④
【分析】根据包容数列的定义和性质可判断ABD的正误，利用枚举法可判断C的正误.
【详解】对于A，当时，不存在使，
所以数列0，0，1，1，，不是包容数列，故A错误；
对于②，当为包容数列，
则或或，
即或或，故②正确；
对于④，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容数列，故④错误；
对于③，可为任意数，
考虑前2项，或，得或，
所以包容数列的前2项中必有1个数为0，
设包容数列的前2项为m，0或0，m，
考虑前3项，由B项知的前3项中必有2项互为相反数，
则的前3项为m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m，
同理可知的前n项中必有项之和为0，
的前4项为m，0，0，0①或m，0，0，②或0，m，0，0③或0，m，0，④或m，0，，n⑤或0，m，，n⑥，
从第5项开始：
对于①，
对于②，
对于③，；
对于④，；
对于⑤，
对于⑥，
综上所述，中要么会有一个0，要么会有一组相反数，
所以不可能全为正，故③错误.
故选：①③④.
解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13分）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， .
(1)证明:
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由平面平面，，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，结合，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论；
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，平面，
所以，又，平面，，
所以平面，平面，
所以，分
（2）由（1）平面，
如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，，所以，
因为，，，所以，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，分
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值；分
17．（满分14分）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的最大值为2；
条件③：函数的最小正周期为.
(1)的解析式，若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为2得出，进而求出的解析式；选择①②：无法确定．然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【详解】（1）由题可知，
选择①③：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
选择②③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
选择①②：无法确定
因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为分
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，分
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围分
18．（满分13分）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
(1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；
(2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；
(3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？（直接写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析
【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，
亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，
估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为分
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，
，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
分
（3）解：建议农科所推广该项技术改良，
设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，
所以，增产的会产生增加的收益为，
故建议农科所推广该项技术改良分
19．（满分15分）已知椭圆过点，长轴长为4.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.
【答案】(1)，离心率
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知易求得，易求得椭圆方程与离心率；
（2）设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，联立方程组，结合韦达定理可得，表示出直线AD的方程为：，令得：计算可求得定点.
【详解】（1）因为椭圆E过点，所以，
又因为长轴长为4，所以，所以，
所以.
椭圆E的方程为：，离心率分
（2）由得：，分
由得：或，
设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，
，

由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：，
令得：
，分
所以直线AD过定点分
20．（满分15分）已知函数
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3)
【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值；
（2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间；
（3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
则在区间上单调递减，所以，，无最小值分
（2）函数的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减；
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为分
（3）分析以下几种情况讨论：
（ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点；
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
当时，由于，故只有一个零点；
当时，由于，此时，函数没有零点；
当时，，
又，故在有一个零点.
设正整数满足，
则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为分
21．（满分15分）给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束.
(1)求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列;
(2)证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是
(3)已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)508
【分析】（1）根据定义直接写出即可;
（2）从充分性和必要性两方面求证即可;
（3）求出数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列，仅除4之外的两项均减小24，得数列经过次“变换”后得到数列6，10，4，接下来经过“变换”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，0，0，2，2，至此数列各项之和最小值为4，即可求K的最小值.
【详解】（1）由题知：数列 A4，4，2，9经过次“变换”后得到的数列依次为：
分
（2）充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束，
必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束，
设数列，，，数列，，，数列，0，0，且，
由充分性易知：数列 E只能为非零常数列，
不妨设
为了变换得到数列E的前两项，数列D只有如下四种可能：
，，，，，，，，，
那么数列E的第三项只能是0或者
即不存在数列D，使其经过一次“变换”后变为非零常数列，
故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束，
必要性得证分
（3）数列，2，2028经过一次“变换”后得到数列，2026，
其结构为a，，4，且远大于，
那么其经过次“变换”后得到数列依次为：
4，a，，4，，，，，，4，，，4
所以数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列，
仅除4之外的两项均减小24，
因为，
所以数列经过次“变换”后得到数列6，10，4，
接下来经过“变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2，
至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为分
明年冬小麦统一收购价格（单位：元）
概率