江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．和相等的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A．11πB．12πC．15πD．16π
6．函数（且）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若角是第三象限角，则可能在第三象限
C．若且，则为第二象限角
D．锐角终边上一点坐标为，则
10．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．在区间上存在函数图象的2个对称中心
D．若函数在区间上单调递增，则
11．已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．1
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 .
13．已知函数，则 .
14．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
(1)求；
(2)求的值.
16．如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
17．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.

(1)若是的中点，，，求实数的值；
(2)若，，求的最大值.
18．已知，相邻两个最值点间的距离为.
(1)求函数的解析式及其对称中心；
(2)求不等式在上的解集；
(3)若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
19．已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
(1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
(2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
(3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确；
因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确；
故选B.
3．【答案】C
【解析】设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得．
【详解】解：设点P的坐标为，，
则，．
由且点P在直线上，得或．
∴或解得或
∴点P的坐标为或．
故选.
4．【答案】B
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
5．【答案】B
【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得，
所以图中斐波那契螺旋线的长度为．
故选B．
6．【答案】C
【详解】由题意，，化简得，
根据函数的图象和性质，
可得在内为增函数且为正值，
在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.
故选C.
7．【答案】A
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选A.
8．【答案】C
【详解】令，
则函数定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，
所以不等式的解集是.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】A选项：若，则，有充分性；
若，则或没有必要性.A错误；
B选项：若角是第三象限角，则，
则，当时，为第一象限角；
时，为第三象限角；当时，为第四象限角；
所以可能在第三象限.B正确；
C选项：，则为第二象限或第四象限角；，
则为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以为第二象限角.C正确；
D选项：锐角终边上一点坐标为，
则有，，
所以，且为锐角，所以，D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】因为函数与函数有相同的对称中心，所以，且，又函数的对称中心为
所以，
又，所以，所以，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，令，
所以函数的对称轴方程为，
令，
所以函数的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，令，
所以函数的对称中心为，
在区间上存在函数的两个对称心为和，故C正确；
对于D，区间，
令，
当时，得到函数在单调递增，所以，故D正确.
故选ACD．
11．【答案】CD
【详解】
如图，设，则，设，易知在直线上，由可得，
，，又，则，
过作，易知，又，故，
结合选项，可能取值为或.
故选CD.
12．【答案】
【详解】因为，又，
所以，所以.
13．【答案】
【详解】因为，
所以
，
故.
14．【答案】
【详解】令，
则，
解得，
令，则，而在区间上单调递增，
得到，解得，
令，得到，解得，
令，，令，，令,得到，
因为在区间上有且只有一个零点，所以，
解得，综上，的取值范围是.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）∵点在单位圆上，∴，
∵为锐角，则，∴解得．
∴，
∴，
．
（2）
．
16．【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
17．【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，

则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（2）因为三点共线，且，
所以，
设正方形的边长为1，，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的故大值为1.
18．【答案】(1)，对称中心见解析
(2)或
(3)
【详解】（1）因为，所以，
因为相邻两个最值点间的距离为，
所以由勾股定理得，
解得，则，
令，解得，
故的对称中心为.
（2）由，因此，
得，得，
因为，所以或，故或，
故不等式在上的解集为或.
（3）由，得，故，
因此函数的值域为，函数设，
要使关于的方程在上有三个不相等的实数根，
当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间上；
令，
①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，
解得：；
②当方程的一个根是时，，
另一个根为，不满足条件；
③当方程的一个根是1时，，
另一个根为，不满足条件.
综上，满足条件的实数的取值范围是.
19．【答案】(1)不是，理由见详解；
(2)；
(3)，的最大值为1.
【详解】（1），不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.