江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．一只袋内装有2个白球，8个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，则取到2个白球的概率等于（ ）
A．B．C．D．
4．等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（ ）
A．4B．3C．2D．1或
5．若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
6．设直线：与圆：交于，两点，当实数变化时，的最大面积为9，则此时的值为（ ）
A．4B．1或4C．1D．1或
7．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为且交轴于，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
8．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．如果，那么直线不经过第四象限
C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次
11．如图，正方体的体积为8，E，F，G，M分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平行于平面
B．向量在向量上的投影向量为
C．点M到直线的距离为
D．点P为线段上一点，则直线与直线所成角的范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为

13．如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ．
14．已知数列满足，是数列的前n项和且，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
16．如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点.
(1)证明：平面
(2)若，，求二面角的正弦值.
17．为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
(1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望.
附：，.
18．已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点.
①证明：直线与直线的斜率之积为定值；
②记和的面积分别是，，求的最小值.
19．设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列．
(1)若数列为，写出所有的数列；
(2)如果数列公差为，证明：；
(3)记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，得，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，则，
所以直线的倾斜角为.
故选C.
2．【答案】A
【详解】，，
若，则，不合题意，；
方程可化为，
间距离，解得：，
到坐标原点的距离为.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由题意，当取到2个白球时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，
有种取法，再任意拿出1个黑球即可，有种取法，
而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，
有种，所以取到2个白球的概率等于．
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为为等差数列，且，
因为为等比数列，且.
由或.
故选D.
5．【答案】C
【详解】由题意得的展开式为，
的展开式为，
要使的展开式中存在常数项，
则或，
所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5.
故选C.
6．【答案】D
【解析】先由圆的方程，得到圆心坐标和半径，由点到直线距离公式，得到圆心到直线的距离为，根据三角形面积公式，由题中条件，得到，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为圆：的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
为使直线与圆有两个交点，只需；
所以的面积为，
当且仅当，即时，等号成立；此时，，满足题意；
所以，整理得，解得或.
故选D.
7．【答案】D
【详解】设，则，由可得，又 ，则，所以点，代入可得，即，应选答案D．
8．【答案】A
【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，
又，且
所以，所以,
取的中点，易得,又
所以平面，又平面，所以平面平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
令，所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为直线AC与BD所成角为，所以，
解得，即，
如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，
设点A在平面内的投影为，作，
所以,
所以在中，
,,
所以在中，，解得，
所以，三棱锥外接球表面积为，
故选A.
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解；
3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
9．【答案】ABD
【详解】A：由，显然直线恒过，对；
B：由，则，
而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对；
C：若直线过原点时，直线为，即，错；
D：令原直线为，根据平移有，
所以与为同一直线，
所以，对.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，设样本数据为，则，解得，
数据的方差为，A正确；
对于B，由题意，B错误；
对于C，随机变量，
由，得，C正确；
对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为，
由，解得，
因此最有可能击中的次数是8，D正确．
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，平面的法向量为，又，所以，又平面，所以平行于平面，故A正确；
对于B，，所以向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，所以M点到直线的距离为，故C正确；
对于D，记直线与直线所成角为，因为点P为线段上一点，设，则，
所以，
令，则，
，
当时，取得最大值1；当时，取得最小值；
所以，故D错误；
故选ABC.
12．【答案】0.752/
【详解】由题意，系统能正常工作的概率为．
13．【答案】/
【详解】由题意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如图空间直角坐标系，
设，()，，，
则，，
得，，
所以，，
得，
有
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以，即线段MN的最小长度为.
14．【答案】
【详解】由，得，即，
数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
即．
当n为偶数时，，
所以，
所以，故．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
则有，
两边同时除以得：，，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，则，
当时，，符合，
故.
（2），
①
②
①②得：
即，
得.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，因为，D为的中点，所以；
又因为平面，平面，所以；
又因为，平面，，所以平面，
又平面，所以；
因为，且，均在平面内，所以；
因为平面，平面，所以平面；
（2）如图，过点H作于点Q，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为
17．【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人，
愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人.
故列联表如下：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
（2）愿意购买新能源车的共有150人，青年人与中老年人的比例为，
所以分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人，
则的可能取值为0，1，2，
则，，.
所以的分布列如下：
则，
所以这5人中青年人数的期望为.
18．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）已知抛物线：中，令，解得，所以，
因为，所以，从而，
∴椭圆的方程为：.
（2）

①直线的斜率显然存在，设方程为.
由，整理得，
设，，则，，，
由已知，所以的斜率分别为，
，故，
所以直线与直线的斜率之积为定值；
②设直线AB：，显然，由，解得：或，
∴，则，
由①知，直线：，则，
由，得，解得或，
，则，
由①知，直线：，，
则
，
当且仅当时等号成立，即最小值为.
19．【答案】(1)2，3，1，4；3，2，4，1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由数列的定义知，的数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．
（2）对于项的数列一个数列，
因为对于，均有，
所以，
所以不是所有项中的最大值或最小值，
所以为的最大值或最小值的一个排列，
考虑中去掉后的数列，
同理若数列为数列的一个数列，
则有为的最大值或最小值的一个排列，
以此类推，当时，
①若为最大值，则为最小值，则，
所以，；
②若为最大值，则为最小值，则，
所以，，
综上，．
（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，
因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，
所以，
因为，
所以，，
所以．年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
100
25
125
中老年
50
25
75
合计
150
50
200
0
1
2