陕西省西安高新第一中学2025届高三下学期4月模拟数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安高新第一中学2025届高三下学期4月模拟数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z1−z=2i，则|1−z|=( )
A. 55B. 2 55C. 52D. 5
2.已知全集U=N，集合A=xx=2k,k∈N ，B=xx=4k,k∈N ，则( )
A. A∩B=AB. A∩∁UB=⌀C. A∪∁UB=UD. ∁UA∪∁UB=U
3.在▵ABC中，若动点P满足向量AP平行于向量ABABsinB+ACACsinC，则P的轨迹过▵ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
4.已知直线y=−x+2与曲线y=kex相切，则k=( )
A. −1e3B. −1e2C. −e2D. −e3
5.已知cs(α−β)=12，sin(α+β)=13，则cs2αcs2β=( )
A. 56B. 536C. −56D. −536
6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线：l1:y= 22x，l2:y=− 22x，点P在C上，过P作PM平行于l1交l2于点M，作PN平行于l2交l1于点N，若MN的长度为定值，则C的离心率为( )
A. 24B. 12C. 22D. 32
7.正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为( )
A. 14:πB. 7:πC. 7:2πD. 7: 2π
8.盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则( )
A. E(X)DYB. E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)
C. E(X)aeb
C. bsina>asinbD. bsin2a>asin2b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1,2,3,4,5中挑出3个不同的数字组成五位数，其中有2个数字各用2次，则能得到的不同的五位数的个数为 ．
13.已知点A(−1,1)，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=10，P，Q为⊙M上的动点，满足∠PAQ=90°，则PQ中点的轨迹方程为 ．
14.如果一个正整数等于它所有真因子之和，那么称这个正整数为完全数，例如28=1+2+4+7+14，28是完全数，若n=31×2m是完全数，则n= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，sinA=csB=32tanC，AC=2．
(1)求B；
(2)求▵ABC的内切圆面积．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PD⊥矩形ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE.
(Ⅰ)证明：PB⊥DF．
(Ⅱ)若PD=1，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为π3，求VP−DEF的值．
17.(本小题15分)
已知抛物线C:x2=2py(p>0)上有三个点P(4,2)，Ax1,y1，Bx2,y2，且直线AP与BP斜率之和为0．
(1)求直线AB的斜率；
(2)若x1≤0，x2≤0，求▵PAB面积的最大值．
18.(本小题17分)
设a≠0，函数f(x)=a2x2−a3+3ax+2a2+3⋅eax．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点0,f(0)处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
19.(本小题17分)
由9个不同的实数a1，a2，…，a9构成一个数表A=a1a2a3a4a5a6a7a8a9，若A中每行3个数之和、每列3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称A为一个3阶幻方，这个和称为幻和s(A).例如492357816就是一个3阶幻方，幻和为15．
(1)设A是一个3阶幻方，证明：
(i)s(A)=3a5；
(ii)a5是a1，a2，…，a9的中位数；
(2)将正整数1，2，…，9填入数表A中构成一个幻方，
(i)证明：a1是偶数；
(ii)求a1=4的概率；
(3)若a1，a2，…，a9的某种排列ai1，ai2，…，ai9满足：ai1，ai2，ai3；ai4，ai5，ai6；ai7，ai8，ai9构成3个公差相等的等差数列，且ai4−ai3=ai7−ai6，则称a1，a2，…，a9满足性质P.证明：A是一个3阶幻方当且仅当a1，a2，…，a9满足性质P．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.B
8.B
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.900
13.x2+y2=3
14.496
15.解：(1)因为sinA=csB=32tanC，A∈0,π，
所以csB>0，tanC>0，又B∈0,π，C∈0,π，
所以B∈0,π2，C∈0,π2，又A+B+C=π，故π2