2025年陕西省渭南市韩城市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省渭南市韩城市中考一模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
试卷类型：A
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 7C. D.
2. 如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，已知，将三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列数值是不等式的解的是（ ）
A. B. 3C. 2D. 0
5. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A. B. C. D.
6. 在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，点A、D在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接、、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：_________．
10. 如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是_____．
11. 如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为_____．
12. 如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是_____．
13. 如图，对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为_____．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 先化简，再求值：，其中 ．
16. 解方程：．
17. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是： （只填写一个序号），并写出证明过程．
19. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置．
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ；
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率．
20. 学校举行“我的梦，中国梦”征文比赛，七、八、九三个年级共收到征文篇，且八年级收到的征文篇数是七年级收到的征文篇数的倍，九年级收到的征文篇数比七年级收到的征文篇数的一半还多篇，求七年级收到的征文有多少篇？（列方程解答）
21. 大象寺塔是渭南的一座回音塔，是当地的一大奇观，这里的建筑风格独特，回音效果让人叹为观止．林轩和王飞想利用所学知识测量大象寺塔的高度．测量方案如下：如图，林轩在地面上立即点处，放置一个小平面镜（大小忽略不计），并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小于曲镜内看到该塔最高点的像，此时，测得米，林轩眼睛与地面的距离米．土（红色）的另一侧的点处，测得该塔顶部的仰角，测得点A、P之间的距离为米．已知图中所有点均在同一平面内，、，点P、C、E、A在同一水平直线上．请根据以上信息计算大象寺塔的高度．（参考数据：，，）
22. 劳动教育正当时，开心农场助“双减”．为落实五育并举，加强劳动教育，体会耕耘播种的艰辛．某中学在校园里开辟了一片“开心农场”，今年计划种植某种蔬菜，数学兴趣小组制作如下的活动报告．
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应点．这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合 函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
（2）根据以上判断，求这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式；
（3）当时，求这种蔬菜的种植总成本．
23. 勤俭节约是中华民族的传统美德，培养学生勤俭节约的好习惯刻不容缓．某校为了解学生每周使用零花钱的情况，培养学生健康的金钱观和理财能力，校团委随机抽取部分学生，调查一周内使用零花钱数额，统计结果绘制成如下不完整的统计图表：
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，10元所在扇形的圆心角度数为 °，所抽取学生一周内使用零花钱数额的中位数为 元；
（2）请计算所抽取学生一周内使用零花钱数额的平均数；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生中一周内使用零花钱为30元的学生有多少名？
24. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，且点为弦所对优弧的中点，连接，分别延长、相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求直径的长．
25. 如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面如图2所示，量得米，最高处点与地面的距离为5米．现以点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，其中、AD、为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B、C在上，已知米，钢支架每米50元，问搭建这样一个“装饰门”（不需要钢支架），仅钢支架一项，需要花费多少元？
26. 【问题探究】
（1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ；
（2）如图2，顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：；
【问题解决】
（3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由．
韩城市2025年初中学业水平模拟考试（一）
九年级数学
试卷类型：A
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值．掌握0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数是解题关键．根据0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数解答即可．
【详解】解：由题意得，
故选：B．
2. 如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点、线、面、体．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体来解答．
【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．
故选：C．
3. 如图，已知，将三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质．由与平行，利用两直线平行内错角相等求出的度数，再利用直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
，
．
故选：D．
4. 下列数值是不等式的解的是（ ）
A. B. 3C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
5. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的中位线定理可得，根据菱形的性质可得，即可求解．
【详解】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为，
故选：A．
6. 在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质．先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答．
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大，
∴，
∴，
∴函数的图象大致是
，
故选：D．
7. 如图，点A、D在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接、、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
连接，根据切线的性质可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，是的半径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
8. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．
【详解】解：将、代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
该函数图象的对称轴为直线，故甲正确；
又，函数图象的对称轴为直线，
二次函数开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确；
当时，，即，故丙正确；
故选：B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可以先提公因式m，再根据平方差公式分解因式即可
【详解】
故答案为：
10. 如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质和等边三角形的性质，掌握正多边形的性质是解题的关键．
设为正六边形的中心，连接，则是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：设为正六边形的中心，连接，如图，
∴，
∴是等边三角形，
∵正六边形的边长为1，
∴．
故答案为：2．
11. 如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理．由四个全等的直角三角形可知，，利用勾股定理可求得大正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：∵中间的小正方形的周长为4，
∴，
∵，
∴，
根据题意得，在中，，，
∴，
∴大正方形的周长为，
故答案是：．
12. 如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
本题设，得到，以为底边的高，然后根据的面积为2，即可求解；
【详解】解：∵点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，
∴设，
∴中，以为底边的高，
∴，
∴，
故答案为：4；
13. 如图，的对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质．设，根据平行四边形的性质，得到，再根据三角形的面积公式列式计算即可求解．
【详解】解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴
，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先将算术平方根和立方根化简，再算乘法，最后算减法即可求解．
【详解】解：
15. 先化简，再求值：，其中 ．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式与平方差公式．先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简后的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．根据去分母，合并同类项，化系数为1，即可求解．
【详解】解：
经检验，是原方程的解．
17. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．作线段的垂直平分线交于点P，连接即可．
【详解】解：如图，点P即为所求作．
．
18. 如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是： （只填写一个序号），并写出证明过程．
【答案】①，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行证明即可．
【详解】证明：当添加的条件是①，
∵，
∴，即，
∵，，
∴；
当添加的条件是②，
在和中，
，
∴；
当添加的条件是③，
在和中，
，
∴；
故答案为：①．
19. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置．
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ；
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）两人都没有抽到“C．夏至”的概率为．
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种，
∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，
∴两人都没有抽到“C．夏至”概率为．
20. 学校举行“我的梦，中国梦”征文比赛，七、八、九三个年级共收到征文篇，且八年级收到的征文篇数是七年级收到的征文篇数的倍，九年级收到的征文篇数比七年级收到的征文篇数的一半还多篇，求七年级收到的征文有多少篇？（列方程解答）
【答案】七年级收到的征文有篇
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设七年级收到的征文有篇，则八年级收到的征文有篇，九年级收到的征文有篇，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设七年级收到的征文有篇，则八年级收到的征文有篇，九年级收到的征文有篇，
根据题意得：，
解得：，
答：七年级收到的征文有篇．
21. 大象寺塔是渭南的一座回音塔，是当地的一大奇观，这里的建筑风格独特，回音效果让人叹为观止．林轩和王飞想利用所学知识测量大象寺塔的高度．测量方案如下：如图，林轩在地面上立即点处，放置一个小平面镜（大小忽略不计），并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小于曲镜内看到该塔最高点的像，此时，测得米，林轩眼睛与地面的距离米．土（红色）的另一侧的点处，测得该塔顶部的仰角，测得点A、P之间的距离为米．已知图中所有点均在同一平面内，、，点P、C、E、A在同一水平直线上．请根据以上信息计算大象寺塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】大象寺塔的高度约为23.57米．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用．设大象寺塔的高度．在中，利用正切函数的定义求得，由题意，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：设大象寺塔的高度．在中，，
∴，
∴，
∵点A、P之间的距离为米，米，
∴，
由题意得，
∴，即，
整理得，
解得，
∴大象寺塔的高度约为23.57米．
22. 劳动教育正当时，开心农场助“双减”．为落实五育并举，加强劳动教育，体会耕耘播种的艰辛．某中学在校园里开辟了一片“开心农场”，今年计划种植某种蔬菜，数学兴趣小组制作如下的活动报告．
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合 函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
（2）根据以上判断，求这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式；
（3）当时，求这种蔬菜的种植总成本．
【答案】（1）一次 （2）
（3）当时，求这种蔬菜的种植总成本为元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
（1）先在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再一次连接，进而可判断这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合的函数关系式；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）将代入一次函数中求出值，即可求解．
【小问1详解】
解：描出表中数据对应的点如下图：
这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合一次函数关系，
故答案为：一次；
【小问2详解】
设这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得：，
这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为；
【小问3详解】
当时，，
当时，求这种蔬菜的种植总成本为元．
23. 勤俭节约是中华民族的传统美德，培养学生勤俭节约的好习惯刻不容缓．某校为了解学生每周使用零花钱的情况，培养学生健康的金钱观和理财能力，校团委随机抽取部分学生，调查一周内使用零花钱数额，统计结果绘制成如下不完整的统计图表：
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，10元所在扇形的圆心角度数为 °，所抽取学生一周内使用零花钱数额的中位数为 元；
（2）请计算所抽取学生一周内使用零花钱数额的平均数；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生中一周内使用零花钱为30元的学生有多少名？
【答案】（1）72；20
（2）所抽取学生一周内使用零花钱数额的平均数是元；
（3）该校学生中一周内使用零花钱为30元的学生约有300名．
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据20元的人数以及占比，求得抽样的人数，再用10元的占比乘可求得10元所在扇形的圆心角度数，用中位数的定义求解即可；
（2）依据平均数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【小问1详解】
解：样本容量为名，
∴名，
∴10元所在扇形的圆心角度数为，
中位数是第50、51个数据的平均数，
而第50、51个数据都是20元，
所以这组数据的中位数为20元，
故答案为：72；20；
【小问2详解】
解：（元），
答：所抽取学生一周内使用零花钱数额的平均数是元；
【小问3详解】
解：（名），
答：该校学生中一周内使用零花钱为30元的学生约有300名．
24. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，且点为弦所对优弧的中点，连接，分别延长、相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，延长交于点，由垂径定理可推出，得到点与点重合，由是的直径，可得，，推出，得到，由得到，进而推出，即可得证；
（2）由是的直径，可得，可得，，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：过点作于点，延长交于点，
，
，
点为弦所对优弧的中点，
，
点与点重合，
四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的性质，等腰三角形的判定与与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
25. 如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面如图2所示，量得米，最高处点与地面的距离为5米．现以点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，其中、AD、为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B、C在上，已知米，钢支架每米50元，问搭建这样一个“装饰门”（不需要钢支架），仅钢支架一项，需要花费多少元？
【答案】（1）；
（2）仅钢支架一项，需要花费元．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．
（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解；
（2）先求得点的横坐标为2，利用二次函数的性质求得，据此即可得解．
【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴将代入得，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：∵，四边形是矩形，
∴，
∴点的横坐标为2，
当时，，
∴，
∴三根承重钢支架的长度为，
∴仅钢支架一项，需要花费元．
26. 【问题探究】
（1）如图1，点是半径为上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ；
（2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：；
【问题解决】
（3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据当、、三点共线时，、两点之间的距离最小，即可求解；
（2）连接、，根据圆周角定理可得：，得到是等腰直角三角形，，即可证明；
（3）连接，取的中点，连接，，过点作于点，先证、、、四点在上，得到．从而得到，，推出，得到，即要使最小，只需最小即可．连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为，故．由，，可知，得到当点与点重合时，满足最小，进而可知最小．连接，易知为等边三角形，则可求，解直角三角形即可求得，，即可求出，即可由求解．
【详解】解：（1）如图，当点运动到点的位置，即、、三点共线时，、两点之间的距离最小，的最小值为:，
故答案为：；
（2）证明：连接、，
，
，
由题意可知，是的直径，
又，
是等腰直角三角形，，
；
（3）如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于点，
根据题意可知与均直角三角形，
，故、、、四点在上，
，
，
，，
，
，
即要使最小，只需最小即可．
连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为，
．
，，
，
当点与点重合时，满足最小，进而可知最小．
连接，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，圆的相关性质，等边三角形的判定与性质，线段的最值问题，解题的关键是掌握相关知识．
…
…
…
…
项目主题
估算种植成本
记录数据
蔬菜种植面积（）
…
蔬菜种植总成本（元）
…
建立模型
发现这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积符合初中学习过的某种函数关系，关系式为：？
绘制图象
一周内使用零花钱数额/元
5
10
20
30
50
人数/名
10
40
25
5
…
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估算种植成本
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蔬菜种植面积（）
…
蔬菜种植总成本（元）
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5
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10
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