初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的解法第2课时教案

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的解法第2课时教案，共10页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第2课时 加减消元法

一、教材分析
本节课《二元一次方程组的解法》是冀教版初中数学七年级下册第六章第2节的内容，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组.本节课主要让学生学会用加减消元法解二元一次方程组，从实际问题出发，利用代入消元法引入加减消元法，也为今后学习其它方程、函数奠定了重要基础.而用加减消元法解决简单的二元一次方程组，是解方程组的基础，这将为后面解决较难的二元一次方程组打下基础.同时也是解一元一次方程在解二元一次方程中的延伸，这一过程渗透消元思想和化归思想.

二、学情分析
七年级的学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.同时，学生也具备了活动经验基础.通过观察、验证、讨论、交流的学习方式经历代入法的消元的过程，体会到转化的作用，有利于发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力.

三、教学目标
1.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，逐步学习加减消元法解二元一次方程组.
2.能根据二元一次方程组的特点，选用适当的消元方式，体会消元思想在解方程中的应用.
3.通过加减消元法，使学生更一步理解解二元一次方程组中把“未知”为“已知”的化归思想方法.

四、教学重难点
重点：用加减消元法解二元一次方程组
难点：加减消元法的灵活应用，了解数学研究中把“未知”为“已知”的化归思想

五、教学过程
情景导入
问题1：解二元一次方程组的基本思路是什么？
答：消元，将二元变为一元
问题2：用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：变、代、求、解
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值，把方程组的解表示出来.
第五步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
超市有两种饮料，分别是苹果汁和橙汁，在售卖时以组的形式售卖.5组苹果汁的瓶数和3组橙汁的瓶数共有16瓶.2组苹果汁的瓶数比3组橙汁的瓶数少2瓶.一组苹果汁和一组橙汁各多少瓶？

请尝试使用二元一次方程组的方程解决问题.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：设一组苹果汁有x瓶，一组橙汁有y瓶.
根据题意得，5x+3y=16①2x−3y=−2②
由①得x=16−3y3③，
将③代入②得2×16−3y3−3y=−2，
解得y=2，
把y=2代入③，得x=2，
所以原方程组的解为x=2y=2.
答：一组苹果汁有2瓶，一组橙汁有2瓶.
一起探究
问题3：5x+3y=16①2x−3y=−2②
(1)观察上述方程组中相同未知数的系数，有什么特点？
(2)能否用学过的知识消去y?
(3)将方程①和②的左右两边分别相加，会消去一个未知数吗？两个方程两边分别相加的依据是什么？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分
答：(1)y的系数互为相反数；
(2)方法一：由①得y=16−5x3③，
将③代入②得2x−3×16−5x3=−2.
方法二：由①得3y=16-5x④，
将④代入②得2x-(16-5x)=-2.
(3)可以.①+②，得5x+3y+2x−3y=16+(−2)，即7x=14.
利用等式的性质，①式的左边+②式的左边=①式的右边+②式的右边.
做一做：尝试使用前面的方法解方程组.
3x+2y=235x+2y=33
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
答：3x+2y=23①5x+2y=33②
②-①，得5x+2y−3x+2y=33−23③，
即2x=10，得x=5，
把x=5代入③，得y=4，
所以原方程组的解为x=5y=4.
追问：①-②也能消去未知数y，求出x吗？
答：能. ①-②，得3x+2y−5x+2y=23−33，即-2x=-10，x=5.
归纳：当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，采用将两个方程左右两边分别
相加或相减的方法“消元”较简便.
主要步骤：第一步：加减，将两个方程相加或相减，消去一个元；
第二步：求解，分别求出两个未知数；
第三步：写解，写出原方程组的解.
设计意图：巩固代入法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，为讲解加减法做铺垫.
问题4：如何用加减消元法解下列二元一次方程组？
5x+6y=72x+3y=4
(1)直接加减是否可以？为什么？
(2)能否将方程进行变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？
(3)变形后是否可以加减的方法消元解方程组吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分
答：(1)不可以.两个未知数的系数不互为相反数，也不相等，无法直接相加或相减消去未知量.
(2)5x+6y=7①2x+3y=4②
将②×2，变形为4x+6y=8，变形后y的系数相同
将②×52，变形为5x+152y=10，变形后x的系数相同
(3)解：②×2，得4x+6y=8③，
①-③，得(5x+6y)-(4x+6y)=7-8，得x=-1，
把x=-1代入②，得-2+3y=4，y=2.
所以，原方程组得解为x=−1y=2.
归纳：将二元一次方程组中两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再相加减），消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
问题5：(1)上面解方程组的基本思路是什么？
(2)如何用加减法解二元一次方程组？请归纳总结解二元一次方程组的步骤.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分；3.补充质疑 +2分.
答：(1)
(2) 第一步：变形，将同一个未知数的系数化为相同或互为相反数
第二步：加减，将两个方程相加或相减，消去一个元；
第三步：求解，分别求出两个未知数；
第四步：写解，写出原方程组的解.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解用加减法解二元一次方程组.
应用举例
例1 用加减法解下列二元一次方程组：
(1)3x+2y=73x+y=5(2) x−y=22x+y=16
答：(1)3x+2y=7①3x+y=5②
①-②，得y=2，
把y=2代入①，得3x+4=7，得x=1，
所以，原方程组得解为x=1y=2.
(2) x−y=2①2x+y=16②，
①+②，得x=6，
将x=6代入①，得y=4，
∴方程组的解为x=6y=4.
例2 用加减法解下列二元一次方程组：
(1)2a+b=3a+2b=12(2) 2x+3y−1=03x−2y−8=0
答：(1)2a+b=3①a+2b=12②
①×2，得4a+2b = 6，③
③-②，得3a=-6，解得a=-2.
把a=-2代入①式，得2×(-2)+b=3，
解得b= 7.
因此原方程组的解是a=−2b=7
追问：如果先消去a应如何解？会与上述结果一致吗？
②×2，得2a+4b = 24，③
③-①，得3b=21，解得b=7.
把b=7代入②式，得a+2×7=12，解得a=-2.
因此原方程组的解是a=−2b=7
(2) 2x+3y−1=0①3x−2y−8=0②，
①×2+②×3，得x=2，
将x=2代入①，得y=−1，
∴方程组的解为x=2y=−1．
例3 若 x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，则x+y的值为( )
A. 3 B. 9 C. 12 D. 27
答：∵ x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，
∴ x−2y+9+|x−y−3|=0，
∴x−2y+9=0 ①x−y−3=0 ②，
②−①得，y=12，
把y=12代入②得，x−12−3=0，
解得x=15，
∴x+y=12+15=27．
故选D．
设计意图：在对如何使用加减法解二元一次方程组已有认识的基础上，通过层次渐进的两个例题，进一步进行加减法解二元一次方程组的巩固练习．初步渗透“转化”的数学思想.
课堂练习
1. 观察下列二元一次方程组，最适合采用加减消元法求解的是( )
A. 3x−2y=11y=16−2xB. 2x+3y=−15x−3y=15C. x=−32y2x+y=2D. 2x−5=y3x−2y=4
答：A.用代入消元法比较好，故本选项不符合题意；
B.用加法消元比较好，故本选项符合题意；
C.用代入消元法比较好，故本选项不符合题意；
D.用代入消元法比较好，故本选项不符合题意，
故选B．
总结：当未知数的系数互为相反数或相等时，适合使用加减消元解方程组.
2.用加减法解下列二元一次方程组：
1x+y=5x−y=32m−n=12m+3n=737x−2y=39x+2y=−19(4)x+2y+2=07x−4y+41=0
答：(1) x+y=5①x−y=3②，
①+②，得2x=8，x=4，
①-②，得2y=2，y=1，
所以方程组的解为x=4y=1.
(2) m−n=1①2m+3n=7②
①×2，得2m−2n=2，③
②-③，得5n=5，n=1.
将n=1代入①，得m=2.
所以方程组的解为m=2n=1.
(3) 7x−2y=3①9x+2y=−19②
①+②，得16x=−16，x=−1.
将x=−1代入①，得−7−2y=3，y=−5.
所以方程组的解为x=−1y=−5.
(4) x+2y+2=0①7x−4y+41=0②
①×2，得2x+4y+4=0，③
②+③，得9x+45=0，x=−5，
将x=−5代入①，得−5+2y+2=0，y=32.
所以方程组的解为x=−5y=32.
3. 若关于x，y的方程组2x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−y>−32，则整数m的最小值为( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
答：2x+y=4 ①x+2y=−3m+2 ②，
①−②得：x−y=3m+2，
∵关于x，y的方程组2x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−y>−32，
∴3m+2>−32，
解得：m>−76，
∴m的最小整数值为−1，
故选C.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
答：加减消元法解二元一次方程组.将二元一次方程组中两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再相加减），消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 二元一次方程组3x−2y=5,2x+2y=3更适合用哪种方法消元( )
A. 代入法B. 加减法
C. 代入法、加减法都可以D. 以上都不对
答：3x−2y=5, ①2x+2y=3, ②
①+②，得5x=8，消去了未知数y，即二元一次方程组3x−2y=52x+2y=3，更适合用加减法消元，故选B．
2. 用加减消元法解二元一次方程组x+3y=4 ①2x−y=1 ②时，下列方法中无法消元的是( )
A. ①×2−②B. ②×(−3)−①C. ①×(−2)+②D. ①−②×3
答：A.①×2−②可以消去x，故此项不符合题意；
B.②×(−3)−①可以消去y，故此项不符合题意；
C.①×(−2)+②可以消去x，故此项不符合题意；
D.①−②×3无法消元，故此项符合题意．
故选D．
3.用加减法解下列二元一次方程组：
(1) x−y=52x+y=4 (2) 4x+3y=62x−y=8
答：(1)x−y=5 ①2x+y=4 ②，
①+②得：3x=9，即x=3，
把x=3代入①得：y=−2，
则方程组的解为x=3y=−2．
(2) 4x+3y=6 ①2x−y=8 ②，
①+②×3得：10x=30，
解得：x=3，
把x=3代入②得：y=−2，
则方程组的解为x=3y=−2．
4. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( )
A. −34B. 34C. 43D. −43
答：x+y=5k ①x−y=9k ②，
①+②得：2x=14k，即x=7k，
将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=−2k，
将x=7k，y=−2k代入2x+3y=6得：14k−6k=6，
解得：k=34．
故选B.
5. 已知关于x，y的二元一次方程组2ax+by=3ax−by=1的解为x=1y=−1，则a−2b的值是( )
A. −2B. 2C. 3D. −3
答：把x=1y=−1代入方程组2ax+by=3ax−by=1得：2a−b=3①a+b=1②，
①+②得，3a=4，即a=43，
把a=43代入①，得b=−13，
解得：a=43b=−13，
所以a−2b=43−2×(−13)=2，
故选：B．
设计意图：通过练习，能恰当地应用“加减消元法”解方程组，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
实践作业：请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题并列出方程组解决问题.

六、板书设计

七、教学反思
本节课教学的是用消元代入法解二元一次方程组.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念，结合学生的实际情况，从代入消元法延伸至加减消元法.同学们从探究活动中体会消元法，将方程组中的两个未知数转化为一个未知数，把方程组的问题化为我们已经学过的一元一次方程的问题.加减法是解二元一次方程组的一种基本方法.让学生经历探索活动，积累探索经验，发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维.组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率.