数学七年级下册（2024）二元一次方程组的解法第3课时教案

这是一份数学七年级下册（2024）二元一次方程组的解法第3课时教案，共10页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第3课时 用适当的方式解二元一次方程

一、教材分析
本节课《二元一次方程组的解法》是冀教版初中数学七年级下册第六章第2节的内容，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组.本节课主要让学生学会用适当的方法解二元一次方程组以及解决较难的二元一次方程组，从代入消元法和加减消元法对比引入本节课的内容，选择用适当的方法解二元一次方程组，也为今后学习其它方程、函数奠定了重要基础.

二、学情分析
七年级的学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，在此之前学习过了代入法和加减法解二元一次方程组，具备解决二元一次方程组的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组. 同时，学生也具备了活动经验基础.通过观察、验证、讨论、交流的学习方式学习使用适合的方法解二元一次方程组，体会到转化的作用，有利于发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力.

三、教学目标
1.能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组.
2.能根据二元一次方程组的特点，选用适当的消元方式，能用特殊的解法解一些特殊的方程组，体会消元思想在解方程中的应用.
3.经历解二元一次方程组的过程，培养创新意识，感受到化繁为简的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力.
4.经历观察和分析选择解决问题的最优方法的过程，培养逻辑思维能力和推理能力．

四、教学重难点
重点：能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组.
难点：能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组，能用特殊的解法解一些特殊的方程组.

五、教学过程
情景导入
问题1：(1)解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)消元的方法有什么？
(3)代入（或加减）法的主要步骤是什么？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：(1)消元，将二元变为一元
(2)代入法和加减法
(3)①变形②代入（或加减）③求解④回代求解
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
问题2：分别用代入法和加减法解二元一次方程组.
10x+7y=18,7x+10y=16.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再选择几名学生进行回答.
答：10x+7y=18,①7x+10y=16.②
代入法：方程①可变形为x=18−7y10.③
将③代入②，得7×18−7y10+10y=16，解得y=23.
将y=23代入③，得x=18−7×2310=43.
所以，原方程组的解为x=43,y=23.
加减法：①×10，得100x+70y=180.③
②×7，得49x+70y=112.④
③-④，得51x=68，解得x=43.
将x=43代入①，得10×43+7y=18，解得y=23.
所以，原方程组的解为x=43,y=23.
问题3：(1)对比代入法和加减法的解答过程，请对解答过程做出评价.
(2)还有其他解这个二元一次方程组的方法吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分
答：(1)两个方法都可以解这个二元一次方程组.但是加减法的计算过程更为简略.
(2)①+②，得17x+17y=34，所以x+y=2.③
①-②，得3x−3y=2，所以x−y=23.④
③+④，得2x=83，解得x=43.
③-④，得2y=43，解得y=23.
所以，原方程组的解为x=43,y=23.
追问：这三种方法哪种更为简单呢？
答：第三种方法，因为计算更为简单.
归纳：当方程组中的x,y的系数的绝对值在两个方程中对调时，则先把两个方程相加和相减，转化为关于x＋y，x－y的方程组，再利用加减消元法求解．
解方程组时，需要先观察系数的特点，再灵活运用代入法或加减法，从而减少计算量，简化运算过程.
问题4：(1)下列二元一次方程组用什么方法消元简单呢？
①x+2y=5y=x−3②3x+4y=72x−y=1③4x−3y=94x−y=1
④7x−3y=48x+3y=1⑤x+2y=22x−4y=1⑥3x+4y=−52x−6y=17
(2)什么情况下用代入法简单呢？什么情况下用加减法简单呢？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分.
答：(1)①②适合代入法；③④⑤⑥适合加减法.
(2)代入法：1.方程组中，有一个方程的一个未知数是由含有另一个未知数的式子表示的时；
2.当有一个未知数的系数为1或-1时.
加减法：1.当同一个未知数的系数相同或互为相反数时；
2.当同一个未知数的系数之间是整数倍关系时；
3.当同一个未知数的系数最小公倍数容易确定时.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解什么适合使用代入法和加减法解二元一次方程组.
问题5：尝试解二元一次方程组.
x2+y4=5,x3−y2=−2.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题.
答：方法一（代入法）：x2+y4=5,①x3−y2=−2.②
由①，得x=10−y2，③
将③代入②，得10−y23−y2=−2，解得y=8.
把y=8代入③，得x=10−82=6.
方法二（加减法）：x2+y4=5,①x3−y2=−2.②
①×2，得x+y2=10，③
②+③，得4x3=8，解得x=6，
把x=6代入①，得3+y4=5，y=8.
所以，原方程组的解为x=6,y=8.
方法三：整理，得2x+y=20,①2x−3y=−12.②
①-②，得4y=32，y=8.
把y=8代入①，得2x+8=20，x=6.
所以，原方程组的解为x=6,y=8.
追问：这三个方法，哪个更为简单？
答：第三个.
归纳：在解较为复杂的二元一次方程组时，可以先整理方程组后再解.
设计意图：巩固代入法和加减法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，总结出当解复杂的二元一次方程组时，先整理再选择使用适合的方法解方程组.
应用举例
例1 尝试使用合适的方法解二元一次方程组：x2−y+13=13x+2y=10
答：x2−y+13=1①3x+2y=10②，
由①可得：3x−2y=8③，
②+③，可得6x=18，
解得x=3，
把x=3代入③，可得：3×3−2y=8，
解得y=0.5，
∴原方程组的解是x=3y=0.5．
例2 解方程组：3x−4(x−2y)=5x−2y=1．
答：3x−4(x−2y)=5①x−2y=1②,
将①化简得：−x+8y=5③，
②+③，得y=1，
将y=1代入②，得x=3，
∴方程组的解为x=3y=1．
追问：还有其他方法解方程组吗？
答：将②代入①中，得3x−4×1=5，得x=3，
将x=3代入②，得y=1，
∴方程组的解为x=3y=1．
归纳：本题方程结构比较复杂，消元难以一步到位，但仔细分析两个方程的系数特点，采用整体代人的方法较简便.
例3 解二元一次方程组：x3=y4x+2y=−11.
答：x3=y4①x+2y=−11②
由①得，x=34y，③
将③代入②，得34y+2y=−11，解得y=−4.
将y=−4代入③，得x=−3.
∴方程组的解为x=−3y=−4．
追问：还有其他方法解方程组吗？
答：设x3=y4=k，则x=3k,y=4k，
把x=3k,y=4k代入x+2y=−11，得3k+2×4k=−11，解得k=−1，
即x=3k=−3，y=4k=−4.
∴方程组的解为x=−3y=−4．
归纳：利用参数消元的目的是使多个未知数通过参数换元后变为含一个未知字母的式子，即使原来的方程组变为一元一次方程，从而降低了难度.这种参数消元的方法又称为设k法或归一法.
例4 已知方程组ax−by=4,ax+by=6与方程组3x−y=5,4x−7y=1的解相同，求a，b的值．
答：3x−y=5,①4x−7y=1.②
①×7− ②，得17x=34．解得x=2．
把x=2代入 ①，得y=1．
∴此方程组的解是x=2,y=1.
把x=2，y=1代入方程组ax−by=4,ax+by=6,得2a−b=4,2a+b=6,解得a=2.5,b=1.
归纳：利用同解方程（组）求字母参数的方法：
当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数或通过运算可将字母参数消去的二元一次方程组成新的方程组，并求出新方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），解方程（组）进而求得字母参数的值．
设计意图：在对如何选择合适的方法解二元一次方程组的基础上，通过层次渐进的四个例题，进一步学习不同的解二元一次方程组的方法．初步渗透“转化”的数学思想.
课堂练习
1.解下列方程组：
(1)3x−4y=5,4x−3y=2.(2)x3=y2x3−y4=13(3)0.1x+0.3y=−0.7y=1(4)2(m+n)−3(m−n)=013m+n−14(m−n)=13
答：(1)3x−4y=5①,4x−3y=2②.
①+②，得7x−7y=7，所以x−y=1.③
②-①，得x+y=−3.④
③+④，得2x=−2，解得x=−1.
④-③，得2y=−4，解得y=−2.
所以，原方程组的解为x=−1,y=−2.
(2) x3=y2①x3−y4=13②
方法一：将①代入②，得y4=13，y=43，
将y=43代入①，得x3=432，x=2，
所以，原方程组的解为x=2,y=43.
方法二：方程组变形为2x−3y=0③4x−3y=4④,
④-③，得2x=4，x=2，
将x=2代入①，得y=43，
所以，原方程组的解为x=2,y=43.
方法三：设x3=y2=k，则x=3k,y=2k，
把x=3k,y=2k代入x3−y4=13，得k−k2=13，解得k=23，
即x=3k=2，y=2k=43.
所以，原方程组的解为x=2,y=43.
(3) 0.1x+0.3y=−0.7y=1
整理得x+3y=2①5x−7y=10②
5×①，得5x+15y=10，③
③-②，得y=0，
将y=0代入①，得x=2.
所以，原方程组的解为x=2,y=0.
(4)整理，得2(m+n)−3(m−n)=0①4m+n−3(m−n)=4②
方法一：−m+5n=0③m+7n=4④
③+④，得12n=4，n=13，
将n=13代入③，得m=53，
所以，原方程组的解为m=53,n=13.
方法二：②-①，得2m+n=4，m+n=2，
将m+n=2代入①，得m−n=43，
解方程组m+n=2m−n=43，解得m=53,n=13.
所以，原方程组的解为m=53,n=13.
2. 如果关于x，y的方程组x+2y=6+k,2x−y=9−2k的解满足3x+y=5，则k的值为 ．
答：方程组x+2y=6+k, ①2x−y=9−2k, ②
①+ ②得，3x+y=15−k．
因为3x+y=5，所以15−k=5，解得k=10．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
答：
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 选择适当的方法解二元一次方程组：
(1)x=y−52, 4x+3y=65. (2)3(x−y−1)=y−9,x2+y3=2.
答：(1) x=y−52, ①4x+3y=65. ②
把①代入②得2(y−5)+3y=65，解得y=15．
把y=15代入①得，x=5．所以方程组的解为x=5y=15；
(2)原方程可变形为3x−4y=−6①3x+2y=12②,
①−②得，−6y=−18，解得y=3．
把y=3代入①得3x−12=−6，解得x=2．
所以原方程组的解为x=2y=3．
2. 解二元一次方程组：3(x+y)−4(x−y)=−4,x+y2+x−y6=1.
答：方法一：3(x+y)−4(x−y)=−4①,x+y2+x−y6=1②,
由①可得－x＋7y＝－4③，由②可得4x＋2y＝6④，
③×2－④×7，得－30x＝－50，解得x=53
把x=53代入③，得−53+7y=−4，解得y=−13，
∴原方程组的解是x=53,y=−13.
方法二：整理，得3(x+y)−4(x−y)=−4①,3(x+y)+(x−y)=6②,
②-①，得5(x−y)=10，得x−y=2，
把x−y=2代入②，得x+y=43，
解方程组x−y=2x+y=43，得x=53,y=−13.
∴原方程组的解是x=53,y=−13.
3.已知方程组4x+y=5,3x−2y=1和ax+by=3,ax−by=1有相同的解，求a2−2ab+b2的值．
答：解方程组4x+y=5,3x−2y=1,得x=1,y=1,
把x=1,y=1代入第二个方程组，
得a+b=3,a−b=1,解得a=2,b=1,
则a2−2ab+b2=22−2×2×1+12=1．
4. 已知关于x、y的方程组x+3y=4−a,x−5y=3a,给出下列结论：
①x=5y=−1是方程组的解；
②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4−a的解；
④在③的条件下，x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有( )
A. ①③B. ②③C. ③④D. ②③④
答：①将x=5，y=−1代入方程组得：5−3=4−a5+5=3a，
由①得a=2，由②得a=103，故①不正确．
②解方程x+3y=4−a ①x−5y=3a ②，
①−②得：8y=4−4a，
解得：y=1−a2，
将y的值代入①得：x=a+52，
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a=1代入方程组得：x+3y=3x−5y=3，
解此方程得：x=3y=0，
将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有x=3y=0，x=2y=1，x=1y=2，x=0y=3.故④正确．
则正确的选项有②③④．
故选：D．
设计意图：通过练习，能恰当地选择合适的方法解方程组，提高学生逻辑思维能力、计算能力.
实践作业：请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题并列出方程组解决问题.

六、板书设计

七、教学反思
本节课教学的是用合适的方法解二元一次方程组.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念，结合学生的实际情况，从代入消元法、加减消元法延伸至选择合适的方法.同学们从探究活动中体会选择合适的方法，利用技巧将方程组中的两个未知数转化为一个未知数，把方程组的问题化为我们已经学过的一元一次方程的问题.代入法、加减法是解二元一次方程组的一种基本方法.让学生经历探索活动，积累探索经验，激发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维.组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率.