第四章《三角形》综合复习 课件 数学北师大版（2024）七年级下册

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数学北师大版（2024）七年级下册三角形 定义①三角形任意两边之和大于第三边；②三角形任意两边之差小于第三边.边与边角与角①三角形三个内角的和等于180°；②直角三角形两个锐角互余.作用：①判断三条线段能否组成三角形；②当已知两边时，可以求出第三边长的取值范围.③证明线段不等关系.三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和.任意三角形按角分按边分用符号“Rt△ABC”表示.根据三角形中的最大角进行判断三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.概念要点①三角形的高是一条垂线段，而垂线是一条直线；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是三角形的边，钝角三角形有两条高在三角形外部；③作钝角三角形中钝角所在两边上的高，要先把这两条边延长再作高.交点位置：三角形的三条高所在的直线交于一点.概念要点三角形中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线.(1)一个三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部；(2)三角形的一条中线平分三角形的一条边及三角形的面积.三角形重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.概念要点区别：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.(1)三角形的三条角平分线交于一点；(2)三角形的三条角平分线都在三角形的内部.概念性质全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)对应边上的高线、中线，对应角的平分线分别对应相等，周长和面积相等；(3)具有传递性.表示方法：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，用符合“≌”连接，读作“全等于”.判定注意(1)三边分别相等的两个三角形全等(SSS)；(2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)；(3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)；(4)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).(1)三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等；(2)两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等.原理注意 利用三角形全等可以得到难以直接测量或不能直接测量的两点之间的距离.其关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点之间的距离.(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；(3)构造三边分别相等的两个全等三角形.如图，小华为了估计池塘两岸间的距离(即AB的长)，在池塘的一侧选取一点P，测得PA= 10m，PB=6m，则池塘两岸间的距离可能是( )A.18m B. 17m C.16m D.15m解：设AB=x m，因为PA=10m，PB=6m所以由三角形三边关系定理得：10-60，a-b-c=a-(b+c)0，所以|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|=a+b-c+a-b-c+a-b+c=3a-b-c分析：根据三角形任意两边之和大于第三边进行化简即可.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC，CAD=20°，则ACE的度数是( )A. 20° B. 35° C.40° D. 70°B如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌ △CFD.(1)求证： △ADC是等腰直角三角形；(2)若S△BCE=15，S△AEF=3，求四边形BEFD的面积.(1)证明：因为△ABD≌ △CFD，所以ADB=FDC，AD=CD，因为ADB+FDC=180°，所以ADB=90°所以△ADC是等腰直角三角形.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌ △CFD.(1)求证： △ADC是等腰直角三角形；(2)若S△BCE=15，S△AEF=3，求四边形BEFD的面积.如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得CAF=BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF=BC；(2)若ABC=65°，ACB=28°，求FGC的度数.(2)解：因为AB=AE，ABC=65°所以BAE=180°-65°×2=50°，所以FAG=BAE=50°因为△ABC≌△AEF，所以F=C=28°因为AGF+FGC=AGF+F+FAG=180°所以FGC=FAG+F=50°+28°=78°如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得CAF=BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(2)若ABC=65°，ACB=28°，求FGC的度数.方法总结找等边的方法：(1)中点(或三角形中线)；(2)公共边；(3)一部分相等，另一部分是公共的，可以利用等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；(4)全等三角形对应边相等.方法总结找等角的方法：(1)公共角相等； (2)对顶角相等；(3)等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等； (4)同角或等角的余(或补)角相等；(5)由角平分线的定义得出角相等；(6)由平行线得到同位角或内错角相等；(7)全等三角形对应角相等.