人教 A 版 2019 高中数学必修一专题4 函数的概念与性质高频考点精讲精练（12大高频考点+知识串讲+真题+易错）（教师版+学生版）

这是一份人教 A 版 2019 高中数学必修一专题四 函数的概念与性质高频考点精讲精练（12大高频考点+知识串讲+真题+易错）（教师版+学生版），文件包含专题四函数的概念与性质高频考点精讲精练12大高频考点+知识串讲+高考真题+易错题型教师版docx、专题四函数的概念与性质高频考点精讲精练12大高频考点+知识串讲+高考真题+易错题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
专题四 函数的概念与性质（12大高频考点+知识串讲+高考真题+易错题型）一、TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9253" 高频考点归纳 PAGEREF _Toc9253 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22606" 【高频考点1】求函数的解析式（4种方法） PAGEREF _Toc22606 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27607" 【高频考点2】求函数的定义域(基本函数、抽象函数) PAGEREF _Toc27607 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15265" 【高频考点3】求函数值域的10种方法 PAGEREF _Toc15265 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7620" 【高频考点4】分段函数（求值、求参数、解不等式） PAGEREF _Toc7620 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc28868" 【高频考点5】函数的单调性 PAGEREF _Toc28868 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc446" 【高频考点6】函数的奇偶性 PAGEREF _Toc446 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc3670" 【高频考点7】函数的周期性 PAGEREF _Toc3670 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc20906" 【高频考点8】函数的对称性（中心对称、轴对称） PAGEREF _Toc20906 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc5444" 【高频考点9】幂函数的性质及运用 PAGEREF _Toc5444 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc1760" 【高频考点10】复合函数的性质及应用 PAGEREF _Toc1760 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc3393" 【高频考点11】对勾函数的性质及应用 PAGEREF _Toc3393 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc30513" 【高频考点12】函数有解和恒成立问题（分离参数法） PAGEREF _Toc30513 \h 40二、 HYPERLINK \l "_Toc22036" 高考真题（刷真题） PAGEREF _Toc22036 \h 44三、 HYPERLINK \l "_Toc26498" 易错题型（练易错） PAGEREF _Toc26498 \h 57高频考点精讲精练【高频考点1】求函数的解析式（4种方法）1．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(4)解方程组法：已知关于f(x)与(或f(－x))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)．【典型例题1】（待定系数法）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.【变式训练1】（解方程组法）已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.【解析】由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.【变式训练2】（换元法）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．【答案】 11 【解析】利用换元法可求出，进一步可得.【详解】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.【变式训练3】(配凑法)已知，求．【答案】．【解析】方法一（配凑法）：，又，所以．方法二（换元法）：令，则，所以，所以．【高频考点2】求函数的定义域(基本函数、抽象函数)①常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．②对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．【典型例题1】函数y=x−2x中，自变量x的取值范围是（　　）A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：要使原式有意义，则x−2≥0x≠0，即x≥2．∴自变量x的取值范围是x≥2．故选：B．【变式训练1】函数f(x)=−x2+x+6+|x|x−1的定义域为（　　）A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．[﹣3，1）∪（1，2]C．[﹣2，1）∪（1，3]D．（﹣2，1）∪（1，3）【分析】由题意，利用偶次根式、分式的性质，求得x的范围．【解答】解：∵函数f(x)=−x2+x+6+|x|x−1，∴﹣x2+x+6≥0且x﹣1≠0，求得：﹣2≤x≤3且x≠1．故选：C．【变式训练2】已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）A．（1，2）B．（7，11）C．（4，16）D．（3，5）【分析】根据复合函数的定义域之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（3，5），∴3＜x＜5，由3＜2x+1＜5，得1＜x＜2，则函数f（2x+1）的定义域为（1，2），故选：A．【变式训练3】已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)3x−1的定义域为（　　）A．(13，4)B．(13，2)C．(13，6)D．(13，1)【分析】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函数g（x）的定义域为(13，6)．故选：C．【变式训练4】若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，则a的范围是（　　）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【分析】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．【解答】解：∵函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，∴ax2+ax+1≥0恒成立．当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．综上可得，a∈[0，4]，故选：A．【高频考点3】求函数值域的10种方法1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.3．分离常数法：将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．基本不等式法：利用基本不等式(a>0，b>0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.【典型例题1】函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为（　　）A．[﹣6，2]B．[﹣6，1]C．[0，2]D．[0，1]【分析】利用二次函数的性质判断函数的单调性，求出最值即可得出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝﹣2x2+4x的开口向下，对称轴为x＝1，所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣6，所以函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为[﹣6，2]．故选：A．【变式训练1】函数f(x)=x+x−2的值域是（　　）A．[2，+∞）B．[74，+∞)C．[0，+∞）D．（2，+∞）【分析】先求函数定义域，再判断函数单调性，再求值域．【解答】解：f(x)=x+x−2的定义域为x≥2，函数y＝x在[2，+∞）上为单调递增函数，函数y=x−2在[2，+∞）上为单调递增函数，∴f(x)=x+x−2在[2，+∞）上为单调递增函数，∴当x＝2是f（x）取得最小值2，∴f（x）的值域为[2，+∞）．故选：A．【变式训练2】函数y=2x−x−1的值域为（　　）A．(−∞，−158]B．(−∞，−158)C．(158，+∞)D．[158，+∞)【分析】先进行换元，然后结合二次函数的性质可求．【解答】解：令t=x−1，则x＝t2+1，t≥0，y=2x−x−1=2t2+2﹣t＝2（t−14）2+158，根据二次函数的性质可知，当t=14时，函数取得最小值158，即y≥158．故选：D．【变式训练3】函数f(x)=2x−33x+1的值域（　　）A．(−∞，13)∪(13，+∞)B．(−∞，32)∪(32，+∞)C．(−∞，−13)∪(−13，+∞)D．(−∞，23)∪(23，+∞)【分析】化简分式函数为一个常数和分式的代数和形式，再根据分式不等于零，求得函数的值域．【解答】解：函数f(x)=2x−33x+1=2(x+13)−1133(x+13)=23−113(3x+1)，由于113(3x+1)≠0，故函数f（x）的值域为{f（x）|f（x）≠23}，故选：D．【变式训练4】函数y=x2+1x(x＞0)的值域为（　　）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】由已知进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解函数的最值，进而可求函数的值域．【解答】解：x＞0时，y=x2+1x=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x＝1时取等号，此时函数取得最小值2，所以函数y=x2+1x(x＞0)的值域为[2，+∞）．故选：C．【变式训练5】下列函数中，值域是（0，+∞）的是（　　）A．y=x2−2x+1B．y=x+2x+1（x∈（0，+∞））C．y=2x2+2x+1（x∈N）D．y=1|x+1|【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：y=x2−2x+1=(x−1)2=|x﹣1|≥0，即函数的值域为[0，+∞），y=x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，则函数在（0，+∞）上为减函数，则1＜y＜2，即函数的值域为（1，2），∵函数的定义域为N，∴函数的y=2x2+2x+1（x∈N）值域不连续，不满足条件．∵y=1|x+1|＞0，∴函数的值域为（0，+∞），故选：D．【高频考点4】分段函数（求值、求参数、解不等式）1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．2．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．3．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．【典型例题1】已知函数，则=（    ）A．B．2C．5D．9【答案】B【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：B.【变式训练1】已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（a）＝10，则a的值是（　　）A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5【分析】结合题意，需要对a进行分类讨论，若a≤0，则f（a）＝1+a2；若a＞0，则f（a）＝2a，从而可求a【解答】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，则f（a）＝2a＝10∴a＝5综上可得，a＝5或a＝﹣3故选：B．【变式训练2】设f（x）=(x+1)2(x＜1)4−x−1(x≥1)则使得f（m）＝1成立的m值是（　　）A．10B．0，10C．0，﹣2，10D．1，﹣1，11【分析】因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1和当m≥1时，f（m）＝4−m−1=1两种情况取并集．【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4−m−1=1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．【变式训练3】已知f（x）=12x+1，x≤0−(x−1)2，x＞0使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是（　　）A．[﹣4，2）B．[﹣4，2]C．（0，2]D．（﹣4，2]【分析】此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．【解答】解：∵f（x）≥﹣1，∴x≤012x+1≥−1或x＞0−(x−1)2≥−1∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2， 即﹣4≤x≤2．应选B．【变式训练4】已知函数，若，则x=___________【答案】【解析】因为函数，当时，,当时，,可得（舍去），或，故答案为.【变式训练5】设函数，若，则的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）【答案】B【解析】当时，，则 当时， ， ，有或，，综上可知：的取值范围是或.选B.【高频考点5】函数的单调性1．函数单调性的性质与判断 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．2．增函数与减函数3．判断函数单调性的方法（1）定义法：步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．【典型例题1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可.【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意，当时，因为为二次函数，且函数在区间上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：.【变式训练1】函数的单调递减区间是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.【详解】要使函数有意义，则，即，解得或，函数定义域为.令，则，在上单调递减，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.故选：D.【变式训练2】函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ．【答案】【分析】由定义代入，可求出的值，代入可求出对应的的值，根据题意对不等式变形可得，根据单调性可列出关于的不等关系，结合定义域可求出结果.【详解】解：令，则有，所以，因为，所以，所以，不等式等价于，函数是定义在上的严格减函数，则，即，又，且，所以.故答案为：【变式训练3】已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.【详解】因为函数满足对上的任意实数，（），恒有成立，所以函数在上递减，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.【变式训练4】函数y＝的单调递减区间为(　　)A．(3,＋∞)B．(－∞,1)C．(－∞,1)和(3,＋∞)D．(0,＋∞)【答案】B【分析】根据复合函数的单调性及二次函数的性质即得.【详解】由题可得函数的定义域，即，根据复合函数的单调性，可得函数y＝的单调递减区间为在上的递减区间，因为在上的单调递减区间为(－∞,1)，所以函数y＝的单调递减区间为(－∞,1).故选：B【变式训练5】已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明；(2)若，解不等式.【答案】(1)增函数，证明见解析；(2)【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明在上为增函数；（2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用函数为增函数即可列出关于x的不等式组，解之即可得到该不等式的解集.【详解】（1）在上为增函数，证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.【变式训练6】已知函数为在上的奇函数,且.(1)用定义证明在的单调性;(2)解不等式.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】（1）根据函数为定义在上的奇函数得，结合求得的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为,,由(1)可得，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数为在上的奇函数,所以 则有 解得,即 ,且 因为,且,所以,,所以即 ,所以在上单调递减 .(2)因为,,由(1)可得不等式可化为,即( 解得,即 所以不等式的解集为【高频考点6】函数的奇偶性1．函数的奇偶性2. 函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．【典型例题1】已知函数是奇函数，且时，，则（    ）A．10B．9C．D．【答案】D【分析】根据奇函数的定义列式求解即可.【详解】由奇函数的定义得，故选：D.【变式训练1】已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答.【详解】因为是奇函数，则可化为．又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减．则，解得或，即实数a的取值范围是．故选：C【变式训练2】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（    ）A．B．C．1D．【答案】B【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得，再应用偶函数性质得出函数值即可.【详解】因为，恒成立，令，则恒成立，即，所以，所以，，，…，，以上各式两边分别相加，得，在中，令，得，因为为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以.故选:B.【变式训练3】设是定义在上以为周期的偶函数，已知当时，，则函数在上（    ）A．是增函数，且B．是增函数，且C．是减函数，且D．是减函数，且【答案】D【分析】判断的单调性以及函数值的正负，结合周期性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】是定义在上以为周期的偶函数，由时，是增函数且，得函数在上为减函数且，由周期为知函数在上是减函数，且.故选：D.【变式训练4】若分别为奇函数、偶函数，，且，则 .【答案】4【分析】根据已知有，进而求得，，再应用奇偶性求目标函数值.【详解】依题意得，又，解得，，所以.故答案为：4【变式训练5】已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 .【答案】【分析】通过赋值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.【详解】对，令，则，解得；对，令，则，又为偶函数，，故，解得；又，故其值域为.故答案为：.【变式训练6】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．【答案】【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得.【详解】因，设，则，可得函数为奇函数，则在区间上的最大值与最小值的和为0，故，于是，.故答案为：.【高频考点7】函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；④若，则函数的周期为；⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为【典型例题1】已知是定义在上的周期为4的奇函数，且时，，则 【答案】【详解】利用函数的周期性与奇偶性可求得，，可求值.【分析】因为是定义在上的周期为4的奇函数，所以，，令，得，所以，因为，所以.故答案为：.【变式训练1】设是定义在上的奇函数，，则 .【答案】2027【分析】通过对已知条件进行变形和推导，找到函数值之间的规律或者函数的周期，从而计算出.【详解】因为，所以.（方法一）由条件得，所以.（方法二）设，则是定义在上的奇函数，且，所以，所以是周期为4的周期函数，所以，即，故.故答案为：2027【变式训练2】设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值是多少？【答案】【分析】分析可知的一个周期，根据周期性和奇偶性分析求解.【详解】由是定义在上的奇函数，且，则，可得的一个周期，所以.【变式训练3】若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的解析式．【答案】(1)0(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.（2）根据函数解析式的求法求得正确答案.【详解】（1）定义在上的奇函数满足，，，，即函数是以4为周期的周期函数．（2）当时，，当时，，，又当时，，．【变式训练4】若函数满足，求的周期.【答案】的周期为4（或4的非零整数倍）.【分析】利用抽象函数的运算性质得到周期性即可.【详解】因为，所以，所以的周期为4（或4的非零整数倍）.【变式训练5】奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2 018)＋f(2 019)＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1【答案】B　【解析】因为奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝－1，则f(2 018)＋f(2 019)＝0－1＝－1，故选B．【高频考点8】函数的对称性（中心对称、轴对称）1．轴对称和中心对称（1）轴对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）中心对称：若函数关于直线对称，则①②③（3）中心对称：若函数关于直线对称，则①②③2．奇偶函数图象的对称性①若是偶函数，则的图象关于直线对称；②若是偶函数，则的图象关于点中心对称；【典型例题1】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ）A．B．C．0D．1【答案】B【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案.【详解】由函数的图象关于点中心对称可知，，即，可得，因此函数具有对称轴，由，可得，由为上的偶函数且具有对称轴，可得．故选：B．【变式训练2】已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是，因为在上单调递增，所以在上单调递减，由，有，即，解得或，所以不等式的解集为.故选：C.【变式训练3】已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称，在上单调递减，则（   ）A．B．在上单调递增C．D．【答案】ACD【分析】对于A，由可得关于对称，结合的图象关于直线对称，可得周期性，可判断选项正误；对于B，由A分析结合单调性可判断选项正误；对于C，由的图象关于直线对称，可判断选项正误；对于D，由AB分析可判断选项正误.【详解】对于A，因，则，得图象关于对称，又图象关于直线对称，则，则，得，则周期为4，则，故A正确；对于B，因在上单调递减，又图象关于对称，则在上单调递减，故B错误；对于C，因图象关于直线对称，则，又周期为4，则，故C正确；对于D，注意到，，则，由B分析可知，在上单调递减，结合，可得，故D正确.故选：ACD【变式训练4】已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集不正确的为（   ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】由已知得函数的对称性，结合单调性解不等式.【详解】函数的定义域为，是偶函数，则的图象关于直线对称，在上单调递增，则在上单调递减，，不等式即，所以有，即，解得，故BCD选项中的解集不正确.故选：BCD.【变式训练5】已知函数的图象关于点对称，则 ．【答案】【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.【变式训练6】已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是 .【答案】【分析】根据一次函数和反比例函数的单调性得到当时，单调递增，再结合关于中心对称得到，且在上单调递增，然后将原不等式整理为，最后利用单调性和定义域列不等式求解即可.【详解】因为函数，在上单调递增，所以当时，单调递增，因为关于中心对称，所以，且在上单调递增，不等式可整理为，即，则，解得.故答案为：.【高频考点9】幂函数的性质及运用1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.2．常见的5种幂函数的图象幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α