人教 A 版 2019 高中数学必修一专题3 不等式高频考点精讲精练（12大高频考点+知识串讲+真题+易错）（教师版+学生版）

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专题三 不等式（12大高频考点+知识串讲+高考真题+易错题型）一、TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc538" 高频考点归纳  PAGEREF _Toc538 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19808" 【高频考点1】利用不等式的性质判断不等关系  PAGEREF _Toc19808 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7502" 【高频考点2】比较大小（作差法、作商法）  PAGEREF _Toc7502 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15543" 【高频考点3】利用不等式的性质求取值范围  PAGEREF _Toc15543 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc909" 【高频考点4】利用基本不等式求最值  PAGEREF _Toc909 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1993" 【高频考点5】“1”的代换，乘1法求最值  PAGEREF _Toc1993 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22801" 【高频考点5】凑配法求最值  PAGEREF _Toc22801 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc21175" 【高频考点6】换元法求最值  PAGEREF _Toc21175 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc18168" 【高频考点7】齐次式求最值  PAGEREF _Toc18168 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc2441" 【高频考点8】和、积的转化  PAGEREF _Toc2441 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc23304" 【高频考点9】解一元二次不等式  PAGEREF _Toc23304 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc30048" 【高频考点10】分式不等式的解法  PAGEREF _Toc30048 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc10892" 【高频考点11】一元二次不等式存在性或恒成立问题  PAGEREF _Toc10892 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc11360" 【高频考点12】不等式解决实际问题  PAGEREF _Toc11360 \h 24二、 HYPERLINK \l "_Toc30989" 高考真题（刷真题）  PAGEREF _Toc30989 \h 27三、 HYPERLINK \l "_Toc14844" 易错题型（练易错）  PAGEREF _Toc14844 \h 35高频考点精讲精练 HYPERLINK \l "_Toc17993" 【高频考点1】利用不等式的性质判断不等关系1．不等式的性质2．倒数的性质①a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)0，b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；3. 利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则：（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).（简记：积定和最小）（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).（简记：和定积最大）【典型例题1】已知，求的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，因此取到最大值．故选：B.【变式训练1】已知，且，，则的最小值是（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值．【详解】，，当且仅当，即时取等号.故选：A.【变式训练2】正整数满足，则的最大值为 ．【答案】/【分析】当取最小的正整数时，所求最大.【详解】，要使其最大，则都最小即可，因为，且为正整数，故取，此时，故答案为：【变式训练3】29．已知、是正数，且，下列叙述正确的是（   ）A．最大值为 B．的最小值为C．最小值为 D．最小值为【答案】ABD【详解】对于A选项，由基本不等式可得，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故最大值为，A对；对于B选项，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，则为，B对；对于C选项，因为，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C错；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，即最小值为，D对.故选：ABD.【高频考点5】“1”的代换，乘1法求最值1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【典型例题1】点在直线上，且，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由题意求得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.【详解】因为点在直线上，可得. 则 因，则，当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为. 故选：C.【变式训练1】已知正实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：B【变式训练2】已知实数，且，则的最小值为（    ）A． B． C．8 D．12【答案】C【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值．【详解】由，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.【变式训练3】已知正实数满足，则的最小值为 ．【答案】6【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件.【详解】由题设，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：6【高频考点5】凑配法求最值【典型例题1】已知，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】变形应用基本不等式求解即可.【详解】由，得，又，当且仅当，即时等号成立.故选：A.【变式训练1】若，则有（    ）A．最大值 B．最小值9C．最大值 D．最小值【答案】C【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可.【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号.故选：C【变式训练2】已知，则的最小值为（    ）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】C【分析】变形后利用基本不等式进行求解.【详解】因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为4.故选：C【变式训练3】（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值；【答案】（1）9；（2）3.【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解；（2）由，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，则，当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9.（2）由，则，当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3.【高频考点6】换元法求最值【典型例题1】函数 的最小值为 ．【答案】7【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)，故函数 ，的最小值为故答案为：7【变式训练1】函数在上的最大值为 ．【答案】【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：【变式训练2】若实数满足，则的最大值为 .【答案】【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.【变式训练3】设为正实数，且，则的最小值为 【解析】∵ ,令，∴，∴，∴又∵∴；【高频考点7】齐次式求最值齐次式是指一个多项式中各项的次数都相同。【典型例题1】若a，b均为正实数，则的最大值为　　A． B． C． D．2 【答案】B【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等即则的最大值为，故选：B．【变式训练1】已知，，则的最小值为____． 【答案】2【详解】∵x，y＞0，则＝，设＝t，t＞0，则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y，故的最小值为2，故答案为：2【变式训练2】函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得， 当且仅当时，取最大值,故选B.【变式训练3】已知，，则的最大值是 ． 【答案】详解：由题得原式=，设，所以原式=，令所以原式=.(函数在上单调递减).故答案为：.【高频考点8】和、积的转化若出现， 其中、、、、因为，可以转化为或，从而求出及的取值范围．若出现求取值范围，先将式子因式分解成为形式，再用基本不等式求出最值．【典型例题1】38．设，，若，则的最大值为 .【答案】【分析】根据基本不等式可求的最大值.【详解】由题意得，，当且仅当，即时取等号，∴的最大值为.故答案为：.【变式训练1】若实数a，b满足，则 的最小值为 ．【答案】27【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可．【详解】因为，所以，所以当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：.【变式训练2】已知，，若，则的最小值为 .【答案】3【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案【详解】因为，，，所以，即；因为，当且仅当时取到等号，所以，解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3【变式训练3】已知正实数满足，则的最小值为 .【答案】/【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】正实数满足，故，所以，则，又，解得，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：【高频考点9】解一元二次不等式.三个“二次”之间的关系：【典型例题1】已知则不等式的解集为 ．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.【变式训练1】不等式 的解集为 ．【答案】或【分析】根据一元二次不等式的解集公式可直接求得结果.【详解】不等式可化为，解得或，∴原不等式的解集为或.故答案为：或.【变式训练2】不等式的解集是，则不等式的解集为 .【答案】【分析】根据解集得到，解出值，代入不等式解出即可.【详解】不等式的解为,一元二次方程的根为,,根据根与系数的关系可得:,所以;不等式即不等式,整理,得，即解之得，不等式的解集是,故答案为：.【变式训练3】若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．【答案】【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解.【详解】由题意可知，，，，则，即，即，解得：，所以不等式的解集为.故答案为：【高频考点10】分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.解法：等价转化法解分式不等式eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0，eq \f(fx,gx)0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δb⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,cd))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd>0⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ0或f(x)0{x|xx2}{x|x≠－eq \f(b,2a)}Rf(x)