吉林省长春市二道区2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省长春市二道区2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】是一元二次方程的一个解，
∴，
解得，，
故选：C ．
3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
配方得，，
即，
故选：．
4. 要使，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，，
∴，
故选：B ．
5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】∵，
，即，
解得：．
故选：C．
6. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
，
故选：C．
7. 如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图②中的数据可得x的值为（ ）

A. 1B. 0.96C. 0.8D. 1.2
【答案】D
【解析】如图所示：过点作于点，交于点，则

∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选：D．
8. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意可得：．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 若二次根式有意义，则正整数的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】二次根式有意义，
，解得，
当为正整数时，的值可取，
故答案为：（答案不唯一）．
10. 若（x、y、z均不为零），则______．
【答案】
【解析】∵（x、y、z均不为零），
∴设，则，，
∴．
故答案为：．
11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____．
【答案】
【解析】∵有实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个．
【答案】
【解析】设袋中红球约有个，
由题意得，，解得，
∴袋中红球约有个，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵与关于点位似，，
∴，
∴，
∵，点在第三象限，
∴，∴，
故答案为： ．
14. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论：
①；②；③等于；
④当点F是边的中点时，点H是边的中点．
上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】②③④
【解析】∵四边形和都是正方形，
∴，
∴，
∴，
假设，
则，
此时是的角平分线，
即当是的角平分线，，
题干没提及是的角平分线，则①的说法是不正确的；
∵四边形和都是正方形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
即
∵，
∴，
故②的说法是正确的；
∵四边形是正方形，
∴，
由②得，，
∴，
故③的说法是正确的；
∵四边形和都正方形，
∴，
∵点F是边的中点，
∴设
∴，
在中， ，
在中， ，
∴，
在中， ，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点H是边的中点．
故④的说法是正确的；
故答案为：②③④.
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 计算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：∵，
∴，
∴，
解得：．
17. 某大型商场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：每购买500元的商品即可获得一次转动转盘（如图）的机会，转盘指针停在哪个区域（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）就可以得到该区域相应金额的代金券，其中质地均匀的转盘被平分为一等奖100元，二等奖50元和谢谢参与三个区域．若顾客甲获得了两次转动转盘的机会，请用列表或画树状图的方法，求他一共获得100元代金券的概率．
解：根据题意，树状图如下：
∴所有可能的结果数有个，符合条件的结果数有个；
∴P（一共获得100元代金券）．
18. 学校课外生物小组的试验园地是长米、宽米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为平方米，求小道的宽？

解：设小道的宽为米，则把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，
依题意得∶，
整理，得，
解得：或(不合题意舍去)．
故小道的宽为2米．
19. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽．
解：∵，，
∴．
∴
即，．
．
解得．
答：河宽大约为．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，在边上找到一点M，连结，使；
（2）在图②中，在边上找到一点M，连结，使；
（3）在图③中，在边上找到一点M，连结，使．
解：（1）如图①中，点M即为所求；
（2）如图②中，点M即为所求；
（3）如图③中，点M即为所求．
．
21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
（参考数据：，，，）
解：过作交于，
由测量步骤可得：
四边形、四边形、
四边形、四边形均是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，；
故两幢楼楼顶B，D之间的距离为米．
22. 【综合与实践】如图①，在矩形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．若，则______；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在平行四边形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．求证：．
小明发现，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．
，
,
∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在四边形中，，，，，点在边上，为的中点，连接，相交于点．若，则的长为______．
解：[综合与实践]
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
[类比探究]
证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
∵，
∴,
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
[拓展迁移]
∵，
∴，，
如图所示，延长作延长线的垂线，垂足为点，则，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
中，，，
∴，
在中，，
如图所示，过点作的平行线，交延长于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接，则四边形是平行四边形，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
23. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，
得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______．
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______．
（3）已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
解：（1）设所求方程的根为y，则，
所以，
把代入，得．
化简得；
（2）设所求方程的根是y，则，所以，
把代入方程，得，
化简，得；
（3）设所求方程的根为y，则，所以，
把代入，得．
化简得．
24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒（）．
（1）边的长度为______；
（2）当点在边上运动时．
①若与相似，求出的值；
②若是以为腰的等腰三角形，求出t的值；
（3）作直线，当直线将平行四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值．
解：（1）在中，，，，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
①第一种情况，如图所示，若时，则，
∴，∴，解得，；
第二种情况，如图所示，，则点线段上，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
综上所述，或；
②第一种情况，如图所示，，
同理，设，则，
∴，
解得，∴，∴，解得，；
第二种情况，如图所示，，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
综上所述，或；
（3）第一种情况，当点在上时，
在中，，，
如图所示，设与交于点，
∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分，
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
解得，；
第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点，
∴，则，
∴，，
∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分，
∴同理可得，，即，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，解得，∴；
综上所述，或．活动课题
测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；
【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角；
【步骤三】利用皮尺测出米，米．
解决问题
根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离．