重庆市垫江第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分）
1. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，令 可得．
【详解】由已知 ，所以 ．
故选：A．
2. 函数 f（x）＝ex+x 在[﹣1，1]上的最大值是（ ）
A. e B. e+1 C. ﹣e+1 D. e﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】可求导数，判断导数的符号，从而得出 在 上单调递增，从而便可求出 的最大值
.
【详解】 ，
，
在 上单调递增，
时， 的最大值为 .
故选： .
【点睛】本题考查基本初等函数的导数的求解公式，以及根据导数符号判断函数单调性的方法，指数函数
的值域，根据单调性定义求函数最值的方法.
3. 设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则其导函数 的图象可能是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 的图象可得 的单调性，从而得到 在相应范围上的符号，据此可判断
的图象.
【详解】由 的图象可知， 在 上为单调递减函数，故 时， ，故排
除 A，C；当 时，函数 的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以 的值是先正，
再负，最后是正，因此排除 B，
故选：D.
4. 已知函数 ，若 在 R 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，由已知得出 恒成立.进而推得 恒成立，由 列出不等式，
解不等式即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
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因为 在 R 上单调递增，所以 恒成立.
因为 ，
所以 恒成立，
所以， ，解得 .
故选：D.
5. 函数 图象上的点到直线 的距离的最小值是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为： ，利用导数的几何意
义求得切点 ，再求出切点 到直线 的距离，即得答案.
【详解】解：设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为： ，
设切点为 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以切点 ，
又因为点 到直线 的距离为 ，
所以函数 图象上的点到直线 的距离的最小值是 .
故选：B.
6. 从 1，2，3，4，5 五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字 2 只出现一次的取法总数有（
）
A. 16 B. 48 C. 75 D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
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【详解】有放回三次抽取的数字中，2 只出现一次，按抽取的顺序有 3 种方法，另两次抽取的数字各有 4 种
方法，
所以不同取法总数是 .
故选：B
7. 已知 ，则 a，b，c 大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据式子结构，构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，进而得到 a，b，
c 的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，得 ，
因此 在 单调递增，在 单调递减，
而 ， ， ，
因为 ，所以 ，即 .
故选：D
8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，判断出单调性，再判断函数的奇偶性，则不等式不等式
可化为 即为 ，运用对数函数的单调性，即可得到
解集.
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【详解】函数 的导数为 ，
则 x>0 时， ，f(x)递增;
因为 ，则 f(x)为偶函数，则不等式
可化为
又因为 x>0 时, f(x)递增，且 f(x)为偶函数，
所以 ，解得：
故选:D
【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不
等式；④解析式较复杂的不等式；
(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．
二、多选题（每小题 6 分，共 3 小题 18 分）
9. 如图所示是 的导数 的图象，下列结论中正确的有（ ）
A. 在区间 上是增函数
B. 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数
C. 是 的极大值点
D. 是 的极小值点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.
【详解】根据图象知，当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，故 A 错误，故 B 正确；
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当 时， 取得是极大值， 是 的极大值点，故 C 正确；
当 时， 取得极小值， 是 的极小值点，故 D 正确.
故选：BCD.
10. 定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，
则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法
中正确的有（ ）
A. B. 函数 既有极大值又有极小值
C 函数 有三个零点 D. 对任意 ，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定 A，根据导数研究其极值可判定 B，结合
B 项结论及零点存在性定理可判定 C，利用函数解析式取特殊值可判定 D.
【详解】由题意可知 ， ，
而 ，故 A 正确；
此时 ， ，
显然 或 时， ，则 在 上单调递增，
时， ，即 在 上单调递减，所以 在 时取得极大值，在 时取
得极小值，故 B 正确；
易知 ，
结合 B 结论及零点存在性定理可知 在 存在一个零点，故 C 错误；
易知 ，故 D 错误
故选：AB
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11. 已知函数 的导函数为 ，若 ，且 ， ，则
的取值可能为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】AB
【解析】
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到 ，从而求出
的取值范围，即可判断.
【详解】因为 ，
令 ，则
，
所以 在定义域上单调递增，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 的可能取值为 、 .
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题关键是依题意构造函数 ，利用导数说明函数的单调性，即可求出
的取值范围.
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三、填空题（每小题 5 分，共 3 小题 15 分）
12. 若函数 在 处有极小值，则实数 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的导数可得 ，解出 的值之后，验证函数在 处取得极小值即可.
【详解】由已知可得 ，
又函数 在 处有极小值，所以 ，
解得 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数在 处取得极小值.
故答案为： .
13. 由数字 组成没有重复数字的三位数，则能被 5 整除的三位数共有__________个.
【答案】
【解析】
【分析】能被 整除的三位数末位数字是 或 ，分成末位数字是 5 和末位数字是 0 两种情况讨论.
【详解】能被 整除的三位数说明末尾数字是 或
当末尾数字是 时，百位数字除了 有 种不同的选法，十位有 种不同的选法，根据分步乘法原理一共有
种方法；
当末尾数字是 时，百位数字有 种不同的选法，十位有 种不同的选法，根据分步乘法原理一共有
种方法；
则一共有 种
故答案为：
14. 设实数 ，若对 不等式 恒成立，则 m 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 判定其单调性得 ，分离参数根据恒成立求 即可.
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【详解】由 ，
构造函数 ，
在 为增函数，则
即对 不等式 恒成立，则 ，
构造函数
令 ，得 ；令 ，得 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 .
故答案为： .
四、解答题（ 第 15 题 13 分，第 16 题 15 分，第 17 题 15 分，第 18 题 17 分，第 19 题 17 分．共
5 小题 77 分）
15. 求下列函数的导数.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】由常见函数的导数公式及导数的运算法则可得答案.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
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16 已知函数
（1）求函数 的极大值;
（2）当 时，求 的值域.
【答案】（1）极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，分析单调性可得极值；
（2）利用（1）的单调性求出即可；
【小问 1 详解】
由题意的 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递减；在 和 上单调递增，
如下表：
1
正 0 负 0 正
增 极大值 减 极小值 增
所以极大值为 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以最小值 ，
又 ， ，
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所以当 时， 的值域为 .
17. 已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处切线方程；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函数在某点的导数，该导数就是曲线在该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，利
用点斜式方程可求得切线方程.
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导分析函数单调性来确定最值.
【小问 1 详解】
当 时， .
首先求 的导数 ：可得 .
然后求 和 值：
将 代入 ，得 .
将 代入 ，得 .
最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
当 时， 恒成立，即 恒成立.
对不等式进行化简：可得 在 上恒成立.
设 ，则 .
求 的导数 ：可得 .
设 ，求 的导数 ： .
因为 ，所以 ， ，则 .这说明 在 上单调递减.
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所以 ，即 .则 在 上单调递减.
所以 .因此， .
则实数 的取值范围是 .
18. 已知函数 ，其中 为实数，
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若方程 在 上有实数解，求 的取值范围；
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用导数可求得 单调性，由此可确定 ；
（2）求导后，在 和 两种情况下可确定 单调，不满足题意；当 时，可求得
单调性，结合单调性可知只需 即可满足题意，由此可求得结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ，由 得： ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
.
（2） ；
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
， 方程 在 上无实数解，不合题意；
②当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
， 方程 在 上无实数解，不合题意；
③当 时，令 得： ；
当 时， ；当 时， ；
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在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
若方程 在 上有实数解，则只需 ，
即 ，解得： ， ；
综上所述： 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程有根求解参数范围，解题关键是能够通过分类讨论得到函数在区
间内的单调性，结合单调性确定函数最值，由此得到不等关系.
19. 已知函数 .
（1）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： .
【答案】（1） ，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对任意 ， 恒成立，可变形为 ，因此只要求得 的最大值即
可，这可由导数的知识求解；
（2）首先利用导数研究 的单调性，确定零点分布，不妨设 ，得 ，然后用分析法
转化所要证不等式 为 ，由 ，这时以退为进，证明 ，即证
，现在可构造函数 ， .证明 ，这又可用导数
证明．
【详解】（1）解：由 对任意 恒成立，得 对任意 恒成立.
令 ，则 .
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令 ，则 .
在 上， ， 单调递增；在 上， ， 单调递减.
故 ，
则 ，即 的取值范围为 .
（2）证明：设 ， ，则 .
在 上， ， 单调递增；在 上， ， 单调递减.
∵ ， ，当 时， ，且 ，
∴ ， .
要证 ，即证 .
∵ ， ， 在 上单调递减，
∴只需证明
由 ，只需证明 .
令 ， .
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
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即 ，∴ .
【点睛】本题考查导数的应用，用导数研究不等式恒成立，研究函数零点．解题过程自始至终贯穿着转化
思想，但转化后仍然要用导数去研究函数的单调性与最值．本题难度较大，属于难题．
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