重庆市两江育才中学2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试题（Word版附解析）

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（时间：120 分钟 满分：150 分）
一、单选题：（本题 8 个小题，共 40 分）
1. 已知火箭发射 t 秒后，其高度（单位：米）为 ，则火箭发射后第 10 秒时，火箭爬高的瞬时速
度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导即可求解.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故选：D
2. 在二项式 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项展开式通项公式，令 的指数为 ，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】二项式 的展开式通项为 ，
令 ，解得 ，所以，展开式中含 项的系数为 .
故选：D.
3. 下表是离散型随机变量 的概率分布，则 （ ）
1 2 3 4
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P
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列的性质可得 ，利用对立事件概率性质运算求解.
【详解】由题意可得： ，解得 ，
所以 ．
故选：B.
4. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，代入 即可求解.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，解得： .
故选：C.
5. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A 2 B. C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
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6. 已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使
，则实数 b 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意不等式 恒成立，可转化为
【详解】依题意，问题等价于 ，
，
所以 .
由 ， 解得 ，故函数 的单调递增区间是 ，
同理由 ， ，解得 或者 ，所以 的单调递减区间是 和 ，
故在区间 上， 是函数 的极小值点，所以在 上 .
函数 在 单调递增，故
故 ，解得 ，
故选：C
7. 高二有甲乙丙丁 4 名志愿者参加 2024 年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这 4 名志愿者参加长跑、
跳远、铅球 3 个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一
个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用事件 A 表示“甲被安排到了长跑”，以 A 为样本空间，利用古典概率公式即可求解.
【详解】用事件 A 表示“甲被安排到了长跑”，B 表示“乙被安排到了长跑”，
在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑就是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，
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相当于以 A 为样本空间，考查事件 B 发生，在新的样本空间中事件 B 发生就是积事件 AB，包含的样本点数
，
事件 A 发生的样本点数 ，
所以在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率为 .
故选：A.
8. 已知函数 ，若关于 的方程 有且只有两个不同实数
根，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定 函数的单调区间，画出函数图像，变换 ，得到 和
，根据函数图像得到答案.
【详解】当 时， ，则 ， ，
函数在 上单调递增，在 上单调递减，画出函数图像，如图所示：
，即 ，
当 时，根据图像知有 1 个解，
故 有 1 个解，根据图像知 .
故选： .
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【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换 是解题的关键.
二、多选题：（本题 3 个小题，共 18 分）
9. 定义在 上的函数 ，其导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 是 的极小值， 是 的极大值
B. 是 的极大值， 是 的极小值
C. 在 上单调递增
D. 在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断.
【详解】由图知 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
故选：BCD.
10. 已知在 的二项展开式中，第 6 项为常数项，则（ ）
A. B. 展开式中项数共有 13 项
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C. 含 的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解.
【详解】依题意， 展开式的通项公式为 ，
因为第 6 项为常数项，
所以 时，有 ，解得 ，故 A 正确；
由 ，得 展开式中项数共有 项，故 B 错误；
令 ，得 ，
所求含 项的系数为 .故 C 正确；
由 ,令 ， ,则 ，即 ，
因为 ，所以 应为偶数，所以 可取 ，即 可以取 ，所以第 项，第 项，第 项为有
理项，即展开式中有理项的项数为 3，故 D.
故选：ACD.
11. 骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别
写有数字 ．现有一款闯关游戏，共有 关，规则如下：在第 关要抛掷六面骰 次，每次观察
向上面的点数并做记录，如果这 次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算闯过第 关， 假
定每次闯关互不影响，则（ ）
A. 直接挑战第 关并过关的概率为
B. 连续挑战前两关并过关的概率为
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C. 若直接挑战第 关，设 “三个点数之和等于 ”， “至少出现一个 点”，则
D. 若直接挑战第 关，则过关的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A 项，先分析事件为两次点数之和应大于 6，用等可能性的概率计算公式即可求解；对于 B
项，分别计算挑战第一关和第二关通过的概率，直接求解；对于 C 项，分别计算 和 ，用条件
概率的计算公式求解；对于 D 项，先分析事件为四次点数之和应大于 20，用等可能性的概率计算公式即可
求解．
【详解】对于 A 项， ，所以两次点数之和应大于 6，
即直接挑战第 2 关并过关的概率为 ，故 A 正确；
对于 B 项， ，所以挑战第一关通过的概率 ，
则连续挑战前两关并过关的概率为 ，故 B 错误；
对于 C 项，由题意可知，抛掷 3 次的基本事件有 ，
抛掷 3 次至少出现一个 5 点的共有 种，
故 ，而事件 AB 包括：含 5，5，5 的 1 种，
含 4，5，6 的有 6 种，共 7 种，故 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D 项，当 n=4 时， ，基本事件有 个，
而“4 次点数之和大于 20”包含以下 35 种情况：
含 5，5，5，6 的有 4 种，含 5，5，6，6 的有 6 种，
含 6，6，6，6 的有 1 种，含 4，6，6，6 的有 4 种，
含 5，6，6，6 的有 4 种，含 4，5，6，6 的有 12 种，
含 3，6，6，6 的有 4 种，所以 ，故 D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：（本题 3 个小题，共 15 分）
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12. 甲、乙、丙 3 个公司承包 6 项不同的工程，甲承包 1 项，乙承包 2 项，丙承包 3 项，则共有____________
种承包方式（用数字作答）.
【答案】60
【解析】
【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包 1 项，再让乙承包 2 项，剩下的 3 项丙承包，
根据分步乘法原理可求得结果.
【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包 1 项，有 种，再让乙承包 2 项，有
，剩下的 3 项丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有 种方案，
故答案为：60
13. 已知函数 恒成立，求实数 m 的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】对函数进行求导，然后利用分析函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为求函数在区间上的最
大值问题，即可求得 的范围.
【详解】 ， （ ）．
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
由题意知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，解得 .
所以实数 m 的取值范围为 ．
故答案为： .
14. 已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .若 恒成立，则关于
的不等式 的解集为__________.
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【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为
，利用函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可知，令 ，则 ，
所以 在定义域内单调递增.
因为 ，
所以关于 的不等式 可化为 ，
即 .
因为 ，所以 ，
即不等式 的解集为 .
故答案为： .
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知 ，满足 ．
（1）求 n 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）5 （2）20
【解析】
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【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用赋值法可得 ，进而利用二项式通项求解 .
【小问 1 详解】
取 ，可得 ，
故 ，所以
【小问 2 详解】
取 ，可得 ，
，
由于 的通项为 ， 表示 的系数，
所以 ,
故
16. 设点 P 是曲线 上的一点，k 是曲线在点 P 处的切线的斜率．
（1）求 k 的取值范围；
（2）求当 k 取最小值时，求过点 P 且和曲线 相切的直线方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，
再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围.
（2）先根据（1）求出 取最小值时 点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜
式写出切线方程，最后将 点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程.
【小问 1 详解】
已知 ，对 求导，可得：
因为 ，所以 ，则 ，即 .
所以 的取值范围是 .
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【小问 2 详解】
当 取最小值 时， ，解方程可得 .
将 代入 可得 ，所以
设切点为 ，对 求导可得： ，则切线斜率
.
由点斜式可得切线方程为 .
因为切线过点 ，将 代入切线方程可得： ，
即 ，即 ，
解得 或 .
当 时， ，切线方程为 ，即 .
当 时， ，切线方程为 ，即 .
所求切线方程为 或
17. 中国乒乓球在世界乒坛长期占据统制性地位，被誉为“国球”，无论是竞技成绩、人才的培养还是技术的
革新，均处于全球领先水平，在最近 7 届奥运会中，有 6 枚奥运男单金牌，女单从未让金牌落榜．某学校
将举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，每场单打比赛获胜得 2 分，双打比赛获胜得 4 分，
两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队
员在决赛中只能参加一场比赛，进入决赛的甲乙两支球队中，甲队有五名运动员．
（1）甲队中队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
（2）在（1）的条件下，单局比赛中 A 参加比赛且获胜的概率为 ，A 不参加比赛甲队单局单打获胜的概
率为 ，甲队双打比赛获胜的概率为 ，求甲队得 4 分的概率．
【答案】（1）36 （2）
【解析】
【分析】（1）利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算.
（2）将甲队得 4 分的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合 A 队员是否参加单打比赛求出概率即可.
【小问 1 详解】
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除队员 A 外的 4 名队员中任选 2 人参加双打比赛，有 种方法；
再从余下 3 人中任选 2 人参数单打比赛，有 种方法，
所以不同的出场阵容的种数是 .
【小问 2 详解】
甲队得 4 分的事件是两场单打获胜、双打输的事件 与两场单打输、双打获胜的事件 的和，
队员 A 参加单打比赛的概率为 ，不参加单打比赛的概率 ，
事件 是 A 参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和， ，
事件 是 A 参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和， ，
所以甲队得 4 分的概率为 .
18. 已知函数 （ 且 ）
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 ，分 、 、 、 讨论可得答案；
（2）分 、 、 、 讨论，结合单调性和零点情况可得答案．
【小问 1 详解】
因为 ，
当 时， 时 ，所以 在 单调递减；
时， ，所以 在 单调递增；
当 时， 时， ，所以 在 和 单调递增，
时， 在 单调递减；
第 12页/共 15页
当 时， ，所以 在 单调递增；
当 时， ，所以 在 和 上单调递增，
时， 在 单调递减；
【小问 2 详解】
当 时，由（1）可知 是 唯一的极小值点，且 ，
，所以 在 有唯一零点；
，
所以 在 上有唯一零点，符合题意；
当 时，由（1）可知 为 极大值点，
且 ，所以不符题意；
当 时， 在 单调，不符题意；当 时，由（1）可知， 为函数 极大值点，且
，不符题意．
综上所述， .
【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据
题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解
为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、
对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函
数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围.
19. 设函数
（1）若 ，求 极小值．
（2）若 是函数 的两个零点，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据导函数的符号判断原函数的单调性，分析可得函数 的极小值；
（2）由（1）得 ，由 得到 ，构造函数 ，判断
的单调性，推理知 ，且 ， ，取 ，将
整理成 ，取函数 ，通过多次求导得到
在 上单调递增，从而得到 ，即可求解..
【小问 1 详解】
由已知 ，
当 时，令 ，得 ，函数 在 单调递减；
令 ，得 ，函数 在 单调递增；
故当 时， 取极小值，故极小值为
【小问 2 详解】
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递减；
此时 至多一个零点，不符合题意，
故由（2）得若 是函数 的两个零点，则必有 ，
令 ，可得 ，
令 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
第 14页/共 15页
而 ，且当
故若 有且仅有 2 个解，则 ，
且两个解中必有一个小于 ，一个大于 ，所以 ，
且 ， ，即 ， ，
两式相减可得 ，所以 ，
两式相加可得
设 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ,则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以
即 的最小值为 .
第 15页/共 15页