重庆市垫江第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市垫江第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），文件包含重庆市垫江第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题Word版含解析docx、重庆市垫江第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式转化为锐角三角函数，即可求值.
【详解】 ，
故选：A
2. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合 ，结合交集的概念即可得解.
【详解】由 可得 ，解得 ，即 ，
因 ，故 .
故选：D．
3. 设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
第 1页/共 17页
【详解】因为对数函数 为 上的增函数，所以 ，
因为对数函数 为 上的减函数，所以 ，
因为指数函数 为 上的减函数，所以 ，因此 .
故选：C.
4. 水滴是刘慈欣 科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（ ）材料所制
成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段 ， 和圆
的优弧 围成，其中 ， 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为 1，点 A 到圆弧所在圆圆心的距
离为 2，则该封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设优弧 所在圆的圆心 ，由题可知， ， ，利用扇形面积公式和
三角形面积公式得到答案.
【详解】设优弧 所在圆的圆心 ，连接 ，
则 ， ，
则 ，所以 ，则 ，
，
故优弧 对应的圆心角为 ，对应的扇形面积为 ，
而 ，
所以该封闭图形的面积为 .
第 2页/共 17页
故选：C
5. 设函数 ，若有不相等的实数 、 ，满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】由指数型函数性质，数形结合即可求解.
【详解】作 的图象如图所示：
由题可知若有不相等的实数 、 ，满足 ，不妨令 ，则 ，
所以 ，所以 .
故选：B
6. 函数 的图象恒过定点 ，若点 的坐标满足关于 的方程
，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数 的图象恒过定点求出 点坐标，代入 ，再利用基
第 3页/共 17页
本不等式可得答案.
【详解】若函数 的图象恒过定点 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
整理得 ，
解得 ，或 舍去，
由 解得 ，
即当 时， 取得最小值为 6.
故选：C.
7. 已知函数 在 是增函数， 关于 轴对称，若关于 的不等式
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 关于 轴对称，则 关于 对称，
又函数 在 是增函数，所以 在 是减函数，
由 可得 ，
由函数的单调性以及对称性可得 ，
即 ，化简可得 ，解得 或 ，
第 4页/共 17页
则实数 的取值范围是 .
故选：D
8. 已知函数 ，且对于 都满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得函数 在 上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数
单调性的性质列不等式求结论.
【详解】当 时， ， .
在 上单调递增，所以
因为函数 在 上单调递增， 在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则可知，
在 上单调递增等价于 ，所以 ，
又根据分段函数递增法则可得 ，所以 ．
，
故选：A.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B.
第 5页/共 17页
C. 集合 ，若 ，则 或
D. “ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是存在命题判断 A，利用弧度制结合三角函数值的正负判断 B，利用集合的子
集关系来确定参数判断 C，利用二次方程根的分布判断 D．
【详解】对于 A，命题“ ”的否定是“ ”，故 A 错误；
对于 B，由于 ，所以 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，由于 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，此时满足 ，
当 时， ，由 ，则 或
所以 或 综上可得： 或 或 ，故 C 错误；
对于 D，“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件是 ，
解得 ，即“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件，故 D 正确；
故选：BD
10. 已知圆 的半径为 ，点 为圆与 轴的交点， 为圆上的动点（第一象限内），延长 至 ，使得
垂直于 轴， ，下列说法正确的是（ ）
A. 点 的坐标为
B. 对应的弧长为
C. 设以 为终边对应的角度 ，则
D.
【答案】BCD
【解析】
第 6页/共 17页
【分析】联立直线 方程与圆的方程，即可得到 的坐标，从而判断 A，由 的弧度，结合弧长公
式，即可判断 B，由任意角的概念即可判断 C，由 为等边三角形，结合诱导公式，即可判断 D
【详解】
对于 A，圆 半径为 ，圆心 ，所以圆的标准方程为 ，
因为 轴， ， ，所以 ，
由直线 的斜率 ，可得直线 的方程为 ，
由 且 ，可得 ，所以点 的坐标为 ，
故 A 错误；
对于 B，在 中， ，可得 ，
所以弧 的长 ，故 B 正确；
对于 C，若以 为终边对应的角度 ，则根据 ，
可知角 的集合为 ，故 C 正确；
对于 D，根据 中， 可得 为等边三角形，
所以 ，可得 ，
故 D 正确；
故选：BCD
11. 已知函数 ，且关于 的方程 恰有四个不同的根，从小到大依次
为 ，则（ ）
第 7页/共 17页
A. B. 最小值为 9
C. 恰有 6 个不同的根 D. ，使得 恰有 8 个不同的根
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出函数的图象后可判断 A 的正误，由图象的局部对称性可判断 B 的正误，利用换元法可判断 CD
的正误.
【详解】 图像如下，
可知 时，与 恰有四个不同交点，所以 A 正确：
由对称性可知 ，而 ，所以 ，
则 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，B 成立：
对于 ，令 ，
则 有两个不同根， ，
各有四个不同根，共有八个不同根，所以 C 错误；
对于 D，令 在 时有三个根： ，
而 有 2 个不同根， 有 4 个不同根， 有 2 个不同根，
共 8 个，所以 D 正确．
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解
判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数.
第 8页/共 17页
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知幂函数 在 上是减函数，则实数 m 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的性质建立方程，求解参数即可；
【详解】因为幂函数 在 上是减函数；
所以 ；
故答案为：
13. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数 的
单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求函数 ，再求 ，利用复合函数单调性的判断方法求
函数的单调递增区间.
【详解】由题意可知
，
令 ，则 ，
i 因为 在定义域内单调递减，若要求函数 的单调递增函数，
则需满足 ，解得： ，
函数的单调递增区间是 .
故答案为：
14. 已知 ．若 对任意 恒成立，则 的
取值范围为___________．
第 9页/共 17页
【答案】
【解析】
【分析】由条件，求函数 的解析式，判断函数 的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式
可得 ，分离变量，求函数 的最小值，
可得结论.
【详解】因为 ，
令 ，则 ， ，
所以 ， ，
令 ， ，
函数 的定义域关于原点对称，
又 ，故函数 为奇函数，
又函数 ， 都为 R 上增函数，
所以函数 为增函数，
不等式 可化为
，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
由已知 对任意 恒成立，
第 10页/共 17页
因为 ，故 ，
因为 ，
由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，故 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决 关键在于求出函数 的解析式，判断函数 的解析式，结合函
数性质化简不等式.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）
（2） .
【答案】（1）1 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算求解；
（2）根据指数幂和根式的运算求解.
【小问 1 详解】
.
【小问 2 详解】
.
第 11页/共 17页
16. （1）已知点 是角 的终边上一点，求 和 的值；
（2）已知 为锐角，且 ，求 的值.
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义，可确定 ，再利用诱导公式即可求解；
（2）利用解方程，结合 为锐角，可得 ，再利用弦化切公式即可求解.
【详解】（1）因为点 是角 的终边上一点，所以 ，
则 ，
（2）由 ，解得 或 ，
因为 为锐角，所以 ，则 .
17. 已知函数 ，且 .
（1）求 的值及函数 的定义域：
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1） ，
（2）偶函数，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）由 即可求 ，由对数式有意义构造不等式可求定义域；
（2）由奇偶性的定义即可判断；
【小问 1 详解】
由 ，可得： ，
解得 ，
第 12页/共 17页
由 可得： ，
所以定义域为： ；
【小问 2 详解】
由（1）可得： ，定义域为： ；
，
所以函数 为偶函数；
18. 已知 的定义在 上的奇函数，其中 为指数函数，且 的图象过点 .
（1）求实数 的值，并求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并用单调性的定义加以证明.
（3）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2） 在 上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求出 的表达式，结合奇函数性质计算即可得解；
（2）设 ，从而计算 的正负即可得证；
（3）由奇函数性质结合函数单调性可得 对 恒成立，构造二次函
，结合二次函数性质可得 ，解出即可得.
【小问 1 详解】
设 ，由 的图象过点 ，
第 13页/共 17页
可得 ，∴ （负值舍去），即 ，
故函数 ，
由 为奇函数，可得 ，
∴ ，即 ,满足 ，即 为奇函数，
故 ；
【小问 2 详解】
在 上单调递减，证明如下：
，
设 ，则 ，
则 ，
结合 ，可得 ，
∴ ，即 ，
故 在 上单调递减；
【小问 3 详解】
由 且 为奇函数，所以 ，
又 在 上单调递减，所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
令 ，
所以有 ，即 ，解得 .
19. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.
第 14页/共 17页
函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：
，当 时是增函数，且随着 的增大 的变化越来越慢，我们称这个函数在 时为“上凸函
数”.此性质还可以表达为： 成立，则称此函数在 内为“上凸函数”.已知函
数 .
（1）请说明 的单调性（无需证明过程）；
（2）证明此函数在 内是“上凸函数”；
（3）已知 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1） 在区间 上单调递增，在区间 ， 上单调递减
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）结合对勾函数的单调性即可得结果；
（2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果；
（3）根据（2）中的结果可得 ，进而可得结果.
【小问 1 详解】
当 时， ，
由对勾函数的性质可得其在在区间 和 上单调递增，
在区间 ， 上单调递减.
由于 在 上连续，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 ， 上单调递减.
【小问 2 详解】
，
，
第 15页/共 17页
. ，
， ， ，
所以： ，
故：
函数 在区间 内是“上凸函数”.
【小问 3 详解】
由（2）得：
，有
，且
，且 .
.
当且仅当 ， 取得最大值.
最大值为 .
第 16页/共 17页