浙教版（2024）七年级下册（2024）用乘法公式分解因式多媒体教学ppt课件

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能用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式： 由完全平方公式： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2，( a - b )2 = a2 - 2ab + b2，可得： a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2；a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2。 两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍， 等于这两数和(或者差)的平方。
完全平方式： 我们把多项式a2 + 2ab + b2及a2 - 2ab + b2叫作完全平方式。 在运用完全平方公式进行因式分解时， 关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。 eg：9x2 - 6x + 1 = ( 3x )2 - 2·( 3x )·1 + 12 = ( 3x - 1 )2。
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b )2
公式法： 一般地，利用公式a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )， 或a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2把一 个多项式分解因式的方法， 叫作公式法。
例3 把下列各式分解因式：( 1 ) 4a2 + 12ab + 9b2； ( 2 ) -x2 + 4xy - 4y2；( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2。
解：( 1 ) 4a2 + 12ab + 9b2 = ( 2a )2 + 2·( 2a )·( 3b ) + ( 3b )2 = ( 2a + 3b )2； ( 2 ) -x2 + 4xy - 4y2 = - ( x2 - 4xy + 4y2 ) = - [x2 - 2·x·( 2y ) + ( 2y )2] = - ( x - 2y )2；( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a ( x2 + 2xy + y2 ) = 3a ( x + y )2。
例4 分解因式：( 2x + y )2 - 6 ( 2x + y ) + 9。
分析：把( 2x + y )看作一个整体，多项式就是一个关于( 2x + y )的完全平方式。解：( 2x + y )2 - 6 ( 2x + y ) + 9 = ( 2x + y )2 - 2·( 2x + y )·3 + 32 = [( 2x + y ) - 3]2 = ( 2x + y - 3 )2。
课内练习 1.分解因式：( 1 ) 9a2 - 6ab + b2；( 2 ) -a2 - 10a - 25；( 3 ) 49b2 + a2 + 14ab；( 4 ) 4x3y + 4x2y2 + xy3；( 5 ) x4 - 18x2 + 81。
解：( 1 ) 9a2 - 6ab + b2 = ( 3a )2 - 2·( 3a )·b + b2 = ( 3a - b )2；( 2 ) -a2 - 10a - 25 = - ( a2 + 10a + 25 ) = - ( a2 + 2 × 5·a + 52 ) = - ( a + 5 )2；( 3 ) 49b2 + a2 + 14ab = 49b2 + 14ab + a2 = ( 7b )2 + 2·( 7b )·a + a2 = ( 7b + a )2；
( 4 ) 4x3y + 4x2y2 + xy3 = xy ( 4x2 + 4xy + y2 ) = xy [( 2x )2 + 2·x·( 2y ) + y2] = xy ( 2x + y )2；( 5 ) x4 - 18x2 + 81 = ( x2 )2 - 2·x2·9 + 92 = ( x2 - 9 )2 = [( x + 3 )( x + 3 )]2 = ( x + 3 )2 ( x - 3 )2。
因式分解的综合： ( 1 ) 通常，把一个多项式分解因式， 应先提公因式，再运用公式， 重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式； ( 2 ) 进行多项式因式分解时， 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
课内练习 2.下面的因式分解对吗？为什么？( 1 ) m2 + n2 = ( m + n )2；( 2 ) m2 - n2 = ( m - n )2；( 3 ) a2 + 2ab - b2 = ( a - b )2；( 4 ) - a2 - 2ab - b2 = - ( a - b )2。
解：( 1 ) 不对，无法因式分解； ( 2 ) 不对，m2 - n2 = ( m + n ) ( m - n )；( 3 ) 不对，无法因式分解； ( 4 ) 不对，- a2 - 2ab - b2 = - ( a2 + 2ab + b2 ) = - ( a + b )2。
观察下表，你还能继续往下写吗？你发现了什么规律？ 能用因式分解来说明你发现的规律吗？
解：2n - 1 = n2 - ( n - 1)2，理由如下：n2 - ( n - 1)2 = [n + ( n - 1)] [n - ( n - 1 )] = ( n + n - 1 ) ( n - n + 1) = ( 2n - 1 ) × 1 = 2n - 1。
解：( 1 ) ( xy - 1 ) ( xy - 3 ) + 1 = x2y2 - 4xy + 4= ( xy )2 - 2·( xy )·2 + 22= ( xy - 2 )2；( 2 ) ( a + b )2 - 12 ( a + b ) + 36 = ( a + b )2 - 2·( a + b )·6 + 62= ( a + b - 6 )2。
分解因式：( 1 ) ( xy - 1 ) ( xy - 3 ) + 1；( 2 ) ( a + b )2 - 12 ( a + b ) + 36。
巧算：-101 × 190 + 1012 + 952。
解：-101 × 190 + 1012 + 952= 1012 - 2 × 101 × 95 + 952= (101 - 95)2= 62= 36。
若4x2 - kx + 1能用完全平方公式分解因式，则k =（　　）A．-4 B．4 C．-4或4 D．-8或8
解：∵4x2 - kx + 1能用完全平方公式分解因式，∴4x2 - kx + 1 = ( 2x - 1 )2 = 4x2 - 4x + 1或4x2 - kx + 1 = ( 2x + 1 )2 = 4x2 + 4x + 1，∴k = 4或k = -4。
解：( 1 ) ( x2 + 4 )2 - 16x2 = ( x2 + 4 )2 - ( 4x )2 = ( x2 + 4x + 4) ( x2 - 4x + 4 )= ( x + 2 )2 ( x - 2 )2；
综合运用两个公式分解因式：( 1 ) ( x2 + 4 )2 - 16x2；( 2 ) ( a2 - 1 )2 + 6 ( 1 - a2 ) + 9；( 3 ) ( a + b )2 - 2 ( a2 - b2 ) + ( a - b )2。
( 2 ) ( a2 - 1 )2 + 6 ( 1 - a2 ) + 9 = ( a2 - 1 )2 - 2·( a2 - 1 )·3 + 32= ( a2 - 1 - 3 )2 = ( a2 - 4 )2 =[( a + 2 ) ( a - 2 )]2= (a + 2 )2 ( a - 2 )2；
( 3 ) ( a + b )2 - 2 ( a2 - b2 ) + ( a - b )2 = ( a + b )2 - 2 (a + b ) ( a - b ) + ( a - b )2 = [( a + b ) - ( a - b )]2= ( 2b )2= 4b2。
综合运用提公因式法与公式法分解因式：( 1 ) 50a2 - 18b2； ( 2 ) a2 ( x - y ) - 4 ( x -y )；( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2；( 4 ) 162x4 - 144x2y2 + 32y4。
解：( 1 ) 50a2 - 18b2 = 2 ( 25a2 - 9b2 )= 2 ( 5a + 3b ) ( 5a - 3b )；( 2 ) a2 ( x - y ) - 4 ( x -y ) = ( x - y ) ( a2 - 4 )= ( x - y )( a + 2 )( a - 2 )；
( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a ( x2 + 2xy + y2 ) = 3a ( x + y )2；
( 4 ) 162x4 - 144x2y2 + 32y4 = 2 (81x4 - 72x2y2 + 16y4 )= 2 ( 9x2 - 4y2 )2= 2 [( 3x + 2y ) ( 3x - 2y )]2= 2 ( 3x + 2y )2 ( 3x - 2y )2。
用完全平方公式分解因式： 由完全平方公式：( a + b )2 = a2 + 2ab + b2，( a - b )2 = a2 - 2ab + b2，可得： a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2；a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2。 两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方。
完全平方式： 我们把多项式a2 + 2ab + b2及a2 - 2ab + b2叫作完全平方式。 在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。
因式分解的综合： ( 1 ) 通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式， 重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式； ( 2 ) 进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。