人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布优质教学设计

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理解n重伯努利试验的概念.
掌握二项分布.
能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
学习重难点
重点： 掌握二项分布.
难点：能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
学习过程
创设情境，引入新知
孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有人可以做自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?
教师：我们不妨从概率的角度来看一下.
探究新知
引言：前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型---二项分布与超几何分布.
问题：总结以下几个随机试验有什么共同特征？
掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上；
检验一件产品结果为合格或不合格；
飞碟运动员射击时中靶或脱靶；
医学检验结果为阳性或阴性；
……
定义：我们把只包含两个可能结果的试验叫做 试验.
问题：总结以下几个随机试验有什么共同特征？
掷一颗质地均匀的硬币10次；
某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次；
一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件；
……
定义：我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 试验．
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？完成下列表格
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8．连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
思考：每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶得所有可能结果可以如何表示？
追问：以上三个结果发生的概率分别是多少？
追问：结合排列组合知识，3次射击恰好2次中靶的概率可以如何表示？
追问：类似地，3次射击恰好0次、1次、3次中靶的概率分别是多少?
追问：中靶次数X的分布列可以如何表示？
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列．
定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
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如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从 （binmial distributin），
记作 ．
思考：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
总结：随机变量X服从二项分布的三个前提条件
(1) 每次试验都是在 条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互 ；
(3) 每次试验出现的结果只有 个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
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应用新知
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率．
例2 图7.4-2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
思考：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？
归纳：确定一个二项分布模型的步骤
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的 ；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的 性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则 ．
跟踪练习：某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率都为eq \f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率；
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．
探究新知
探究：假设随机变量X服从二项分布，那么X的均值和方差各是什么？
教师：二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述．
能力提升
类型一：求二项分布的分布列
例题1 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．
(1)求顾客中奖的概率；
(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．
题型二：服从二项分布随机变量概率最大值问题
例题2 某人在次射击中击中目标的次数为，且，
已知，
则当取最大值时， ．
总结：建立不等式组：
__________________________
解不等式组，即可得到k的取值范围，然后根据k∈N^∗,得出k的值.
题型三：二项分布的均值与方差问题
例题3（1）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（2）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
总结：根据二项分布的均值和方差公式，建立方程（组），解方程（组）即可得解
题型四：建立二项分布模型解决实际问题
例题4 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张.每次抽奖互不影响.
（1）设该顾客抽奖后中奖的奖券张数为，求的分布列；
（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为（单位：元），求的数学期望.
总结：正确认识二项分布及其在解题中的应用
(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中的离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求均值和方差，以简化问题的解答过程．
(2)对于二项分布的均值与方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．
课堂小结
随堂限时小练
1．设随机变量，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B（n, ），若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝ .
3．一次单元测验由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中选对的题数的均值是 ，成绩的均值是 ．
4．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
（2）求ξ的均值．
我国的5G研发在世界处于领先地位，到2021年5月已累计建成5G基站超过80万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件和元件按如图方式连接而成．已知元件至少有一个正常工作，且元件正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件和元件正常工作超过10000小时的概率分别为和．

(1)求该装置正常工作超过10000小时的概率；
(2)某城市基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的台数．
课后作业布置
作业1：完成教材：第76~77页练习 第1,2,3题.
作业2：配套辅导资料对应的《二项分布》.
课后作业答案
练习（第76页）
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数．
（1）求X的分布列；
（2）________，________．
2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒．如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率．
3．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数．
4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子．
随机试验
是否为n重伯努利试验
P(A)
重复试验的次数
(1)
(2)
(3)