高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用优质课第2课时教案

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5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时）
——函数的最大（小）值
一、教材分析
高中阶段研究函数，主要是利用函数图象与性质研究函数的极值、最大(小)值以及函数零点问题、函数与不等式的综合问题等.之前利用幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这几个基本初等函数的图象与性质研究过一些较为简单的函数，但是对于稍微复杂的函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数进行四则运算或者复合以后的一些函数，就很难用之前的方法加以解决.单调性是函数的最基本而重要的性质，有了导数以后，可将函数单调性的判断问题转化为导数的正负性判断问题.再利用函数的单调性，得到函数的极值，从而得到函数的最大(小)值及函数的变化趋势，可以画出函数的大致图象，再借助函数图象研究函数零点等问题.函数与不等式的综合问题、实际问题的应用，往往转化为函数的最大(小)值问题.这样，研究函数问题本质上就是将其转化为导数的运算和导数正负的判断问题，因此利用导数就可以更加“精确地”研究函数的性质，因此导数是研究函数性质的基本工具.
必修第一册已经学习过函数的单调递增(递减)、函数最大(小)值的定义，并利用定义研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的单调性与最大(小)值，学生对函数的单调性、最大(小)值有了一定的了解.函数的极值是学生第一次接触到的新概念，本单元给出了极值的概念，并归纳出用导数求函数极值的一般方法，以及如何利用极值求函数最大(小)值.函数的最大(小)值是贯穿整个高中数学学习的一个重要内容，比如，三角函数中的最大(小)值、立体几何中的最大(小)值问题、解析几何中的最大(小)值、实际问题中的最大(小)值等.之前我们借助函数单调性的定义、函数图象、重要不等式等知识解决了一些比较简单的函数最大(小)值问题，学习本单元以后，对于比较复杂的函数，可以借助导数加以解决.导数不仅在高中数学中有非常重要的作用，也是今后学习高等数学的重要基础.
通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出利用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想.通过高台跳水的具体实例，得到函数的单调性与导数正负的关系、函数极值与函数单调性的关系，体现了特殊与一般的数学思想.在利用导数研究函数单调性、极值的基础上，将简单的函数不等式的证明转化为用导数求函数的最大(小)值来解决；将实际问题中的优化问题转化为用导数求函数在某个范围内的最大(小)值问题，体现了转化与化归的思想.利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值等性质的一般步骤，体现了程序化思想，其方法具有普适性、通用性.
函数的单调性、极值与最大(小)值是函数的重要性质，也是研究客观世界运动变化规律的最有用的知识之一，用导数研究函数的性质是一种通法.利用导数研究函数的单调性、极值与最大(小)值的综合性问题，以及简单的优化问题，可以让学生感受到数学来源于生活、服务于生活，提高从数学角度发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会导数运算在数学证明中的重要作用，感悟导数的内在力量——导数精确定量地刻画变化规律.同时通过导数在研究函数中的应用，可以进一步提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.
二、学情分析
学生已经学习过函数的单调性、最大(小)值的定义，会利用函数单调性的定义、函数图象、重要不等式等知识求一些简单函数的最大(小)值.但是对于一些复杂的函数，用单调性的定义很难研究函数的图象与性质.前面学习了导数的概念、导数的几何意义，以及导数的运算法则，为利用导数来研究函数的图象与性质奠定了基础.
由于高中阶段不介绍微分中值定理，也没有建立完整的微积分知识体系，对于“导数的正负与函数单调性的关系”“可导函数极值点的特征”等结论无法进行严格的证明，因此不易理解导数的正负与函数单调性的关系、函数取得极值的充分条件和必要条件.极值是函数的局部性质，而最大(小)值是函数的整体性质，理解极值与最大(小)值的关系，极大值与极小值的关系等，对学生来说有一定的困难.
从特殊到一般是研究问题的一般方法，教科书通过高台跳水的实例，再从学生熟悉的几个幂函数的图象，总结得到导数的正负与函数单调性的关系.数形结合是研究函数性质的主要思想方法，对于“是函数在区间上单调递增(递减)的充分不必要条件”及函数取得极值的充分条件和必要条件的理解，只能借助图形直观，通过形与数的融合，得到结论.对于不必要性，可以通过举反例加以说明，比如函数在上单调递增，但是当时，.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题.
（二）课时目标要求
1.能归纳出用导数求函数最大(小)值的一般方法，能利用导数求函数的最大(小)值，发展数学运算素养.
2.能利用函数的最大(小)值证明函数不等式，体会函数与方程和化归与转化的思想，发展逻辑推理素养.
四、重点难点
教学重点：利用导数求函数在闭区间上的最大(小)值及证明简单的函数不等式.
教学难点：函数极值与最大(小)值的区别与联系..
五、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
问题1：上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？
师生活动：学生回顾反思，交流，深化对函数极值的求解步骤，教师在学生的基础上板书基本步骤过程.
1.函数极值的概念：
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧右侧,就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系.
2.一般地，可按如下方法求函数的极值：
第一步：确定函数的定义域；
第二步：求解方程的根；
第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间，并列成表格；
第四步：由在方程的根的左右的符号来判断在这个根处取极值的情况：
(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值；
(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
问题2：函数的最大(小)值是如何定义的?
师生活动：教师提出问题后，请学生回答问题，然后教师在学生回答的基础上总结：
设函数的定义域为,如果存在实数满足：
(1)对于任意,都有();
(2)存在,使得.那么,我们称是函数的最大(小)值.
追问：你学过哪些求函数最大(小)值的方法?
师生活动：教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结.要提醒学生注意：最大(小)值是函数的一个整体性质，通俗地讲就是“所有函数值中最大的那一个”,所以需要同时满足两个条件.求函数最大(小)值的方法：
(1)利用函数单调性的定义；(2)利用函数图象；(3)利用均值不等式.
设计意图：复习函数最大(小)值的概念以及最大(小)值的求法、极值的求解方法，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生的直观想象素养和数学抽象素养.
环节二：合作交流，探究法则
问题3：函数的极大(小)值与函数最大(小)值有何区别与联系?
师生活动：学生思考、回答，教师在学生回答的基础上总结，并归纳函数的极大(小)值与函数最大(小)值的区别与联系：
追问1：图5.3-13是函数的图象，你能找出它的极大值、极小值吗?
师生活动：教师提问学生，在学生回答的基础上，总结由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值.
追问2：你能找出图5.3-13中函数在区间上的最小值、最大值吗?
师生活动：教师提问学生，学生回答：由图5.3-13可以看出，函数在区间上的最小值是,最大值是.
问题4：在图5.3-14与5.3-15中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗?如果有，最大值和最小值分别是什么?
师生活动：学生结合图象回答问题.
追问1：任意一个函数都有最大(小)值吗?
师生活动：学生观察、思考、回答，师生一起总结：不是任何函数都有最大(小)值，如既没有最大值，也没有最小值.
追问2：什么样的函数一定有最大值和最小值?
师生活动：学生思考、回答，师生一起总结，得出结论：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
追问3：如何利用极值求出函数的最大值与最小值?
师生活动：由学生回答：只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
设计意图：通过特例，体现函数极值与最大(小)值之间的联系与区别，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生数形结合、数学抽象的核心素养.
环节三：根据新知，简单应用
例1.求函数在上的最大值与最小值．
解：因为，所以
．
令，解得，或．
当变化时，、的变化情况如表5.3-3所示．
表5.3-3
因此，在上的最大值是，最小值是，
上述结论可以从函数在上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
师生活动：教师启发学生思考，并示范解答上述问题，在此基础上，引导学生归纳利用导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤.
方法规律：
导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数在区间上的极值；
(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
设计意图：教师通过例题解答向学生示范如何利用极值求函数的最大(小)值，再让学生熟悉用导数求函数最大(小)值的步骤，发展数学运算素养.
变式训练：
1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
【详解】（1），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极大值为，极小值为，而，，
综上，在上最大值为，最小值为.
（2），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
∴在上的极大值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
例2.设，对于函数，，两个函数的图象如图所示.我们发现，当时，，怎么证明这个结论呢？
证明：我们将不等式①转化为：
设，那么令解得
当变化时，，的变化情况如表所示.
所以，当时，取得最小值.所以，即.
所以，当时，.
方法规律：
对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用.
(1)证明的一般方法是证明(利用单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.
(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式对恒成立，即等价于函数为增函数.
变式训练：
2.证明不等式：，
【答案】证明见解析
【详解】由题设，要证只需证即可，
令，则，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故，即在上恒成立，
∴，得证.
随堂演练
1．求下列函数的最值：
（1）；（2）；
【解析】（1）的定义域为，．令，解得：，列表得：
所以函数的的最小值为，最大值为；
（2）的定义域为，．令，解得：，列表得：
所以函数的的最大值为22，最小值为．
2．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，
【解析】等价于，∴可令，则，在上，在上单调递增，即，
在上恒成立，则，得证．
环节五：能力提升
题型一：含参数的函数的最值问题
例1:
1．已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】解：（1）因为，所以，
所以.
由或.
所以当，所以，
所以在上单调递增，
所以.
（2）的定义域为，
，
由.
①当，即时，或.
所以在上单调递增，；
②当，即时，由或.
由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
；
③当，即时，由.
所以在上单调递减，.
综上，
方法规律：对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
变式训练：
1．已知函数在处取得极值.
(1)求的值；(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），
由已知得，即，解得，
当时，在处取得极小值，所以.
（2）由（1）得，
则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
①当时，在上单调递增，
；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
；
③当时，在上单调递减，
综上，在上的最小值.
题型二：由函数的最值求参数问题
例2：1）．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，
易知在区间上单调递增，
若在区间上有最小值，
则，即，解得.
这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上有极小值，也是最小值，
所以的取值范围是.
故选：A.
2）．已知函数，若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围．
【答案】
【详解】
定义域为0,+∞，且，
若，则对任意x∈0,+∞恒成立．
所以在0,+∞上单调递增，无最大值，不合题意，
若，令，解得，令，解得，
可知在上单调递增，上单调递减，
则有极大值，无极小值，
由题意可得：，即.
令，，在上单调递减,
又，不等式等价于，解得.
综上，的取值范围是．
方法规律
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
变式训练：
2．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，函数，可得，
若时，当时在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，存在，使得，
当x∈0,x0时单调递减；
当时单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A
3．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数，若在区间上的最大值为2，求的值．
【答案】.
【详解】由题设，
当，结合，易知，
所以在上单调递增，故无最大值，不符合；
当，且，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
故，可得.
综上，.
环节六：凝练升华，课堂小结
回顾本节课的学习内容，回答下列问题
(1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数最大(小)值的步骤吗?
(2)函数的极值与最大(小)值的区别和联系是什么?
(3)证明函数不等式的一般思路与步骤是什么?
师生活动：教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳.
设计意图：(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数最大(小)值的步骤，提高解题技能；(2)通过图象的直观，理解函数的极值与最大(小)值的区别和联系，体现数形结合思想的运用；(3)对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用.
环节七：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第98页习题5.3第6题
教科书第99页习题5.3第12题
巩固作业答案：
教科书第98页习题5.3第6题
6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为.
【详解】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极小值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
（2），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极大值为，极小值为，而，，
综上，在上最大值为，最小值为.
（3），则时有，
∴时，，单调递减；
∴在上最大值为，最小值为.
（4），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
∴在上的极大值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
教科书第99页习题5.3第12题
12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意，等价于，令，
∴，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴，得证.
（2）由题设，等价于，等价于，
令，则，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
令，则，而，
∴时，，单调递增，
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
综上，，上恒成立.
环节八板书设计
5.3.2 函数的最值（第2课时）
1．函数最值与极值的关系
例1. 函数最值的求解

例2.不等式的证明
极值
最值
区别
函数的极大(小)值是函数的一个局部性质
函数的最大(小)值是函数的一个整体性质
函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的
函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的
函数的极值可以有多个
最大(小)值最多只有一个
极值只能在区间内取得
最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得
联系
有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值；
极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
单调递增
x
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
x
＋
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单调递增
单调递减